Umformung Fourier-Koeffizient < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Mo 13.10.2014 | | Autor: | bla234 |
| Aufgabe | Gesucht Fourier-Reihe der Funktion
[mm] f(x)=e^{-x}, 0\le [/mm] x < 2
[mm] c_{k}=... =\bruch{1}{2(1+ik\pi)}(e^{-2(1+ik\pi)}-1)=\bruch{1-e^{-2}}{2(1+ik\pi)}=... [/mm] |
Dies ist aus einem Skript und ich versuche mich durchzuackern.
Leider kann ich nicht nachvollziehen wie hier umgeformt wurde.
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> Gesucht Fourier-Reihe der Funktion
> [mm]f(x)=e^{-x}, 0\le[/mm] x < 2
>
> [mm]c_{k}=... =\bruch{1}{2(1+ik\pi)}(e^{-2(1+ik\pi)}-1)=\bruch{1-e^{-2}}{2(1+ik\pi)}=...[/mm]
>
> Dies ist aus einem Skript und ich versuche mich
> durchzuackern.
> Leider kann ich nicht nachvollziehen wie hier umgeformt
> wurde.
[mm]e^{-2\cdot(1+ik\pi)}=e^{-2-i2k\pi}=e^{-2}\cdot \underbrace{e^{-i2k\pi}}_{1}=e^{-2}[/mm]
Um auf obiges zu kommen, habe ich ganz einfach ein Potenzgesetz verwendet, das du in mit Sicherheit in deiner Formelsammlung findest. Verstehst du, warum der andere Ausdruck gleich 1 ist?
Wenn nicht, darfst du gerne nochmal nachfragen.
Meiner bescheidenen Meinung nach sollte es daher lauten:
[mm]\bruch{\red{e^{-2}-1}}{2(1+ik\pi)}=...[/mm]
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mo 13.10.2014 | | Autor: | bla234 |
Ist das so richtig?
[mm] e^{-i2k\pi} [/mm] = [mm] \underbrace{cos(2k\pi)}_{=1} [/mm] -i [mm] \underbrace{sin(2k\pi)}_{=0}
[/mm]
Danke schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:28 Mo 13.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja richtig, aber [mm] e^{i\phi} [/mm] sollte man auch auf dem Einheitskreis direkt sehen.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Di 14.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist das so richtig?
> [mm]e^{-i2k\pi}[/mm] = [mm]\underbrace{cos(2k\pi)}_{=1}[/mm] -i
> [mm]\underbrace{sin(2k\pi)}_{=0}[/mm]
Leduart hat es ja schon bestätigt, aber das, was von Leduart zudem gesagt
wird, solltest Du Dir anschaulich klarmachen:
Es ist (für [mm] $\varphi \in \IR$)
[/mm]
[mm] $e^{i \varphi}=\cos(\varphi)+i*\sin(\varphi)$
[/mm]
(das würde auch für [mm] $\varphi \in \IC$ [/mm] gelten - beim Folgenden kommt [mm] $\varphi \in \IR$ [/mm] zum Einsatz)
und man kann $x+i*y [mm] \in \IC=\IR+i*\IR$ [/mm] vermöge
$z=x+i*y [mm] \mapsto [/mm] (x,y) [mm] \in \IR^2$
[/mm]
identifizieren. D.h. für [mm] $\varphi \in \IR$:
[/mm]
Identifiziere
[mm] $\cos(\varphi)+i*\sin(\varphi)$
[/mm]
mit
[mm] $(\cos(\varphi),\;\sin(\varphi)) \in \IR^2\,.$
[/mm]
(Beachtenswert sind dabei auch andere Eigenschaften, nämlich der Betrag
einer Zahl $x+i*y [mm] \in \IC$ [/mm] berechnet sich als [mm] $\sqrt{x^2+y^2}\,,$ [/mm] ebenso wie die
euklidische Norm [mm] $\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] des korrespondierenden Punktes $(x,y) [mm] \in \IR^2\,$... [/mm]
Das meinte Leduart damit, dass man [mm] $e^{i \varphi}$ [/mm] auch direkt auf der Einheitskreislinie
in [mm] $\IC$ [/mm] erkennen können sollte...)
Gruß,
Marcel
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