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Umformung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:49 Fr 30.11.2007
Autor: Bastiane

Hallo zusammen!

[Dateianhang nicht öffentlich]

Wie kommt man von der 2. auf die 3. Zeile? Ich denke, dass da n=j+k gesetzt wurde, allerdings müsste dann der erste Summenindex doch j sein und nicht n! [kopfkratz2]

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Umformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Fr 30.11.2007
Autor: rainerS

Hallo Bastiane!

> Hallo zusammen!
>  
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> Wie kommt man von der 2. auf die 3. Zeile? Ich denke, dass
> da n=j+k gesetzt wurde,

[ok]

> allerdings müsste dann der erste
> Summenindex doch j sein und nicht n! [kopfkratz2]

[mm]\summe_{j\in\IZ} y(j) \mathrm{e}^{-2\pi i w (k+j) } \mathop{=}\limits_{\overbrace{j=n-k}} \summe_{n\in\IZ} y(n-k) \mathrm{e}^{-2\pi i w n} [/mm]

und dann die beiden Summationen vertauschen:

[mm]\summe_{k\in\IZ} x(k) \summe_{n\in\IZ} y(n-k) \mathrm{e}^{-2\pi i w n}= \summe_{n\in\IZ}\summe_{k\in\IZ} x(k) y(n-k) \mathrm{e}^{-2\pi i w n} [/mm]

Viele Grüße
   Rainer
Bezug
                
Bezug
Umformung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:25 Fr 30.11.2007
Autor: Bastiane

Hallo Rainer!

> Hallo Bastiane!
>  
> > Hallo zusammen!
>  >  
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
>  >  
> > Wie kommt man von der 2. auf die 3. Zeile? Ich denke, dass
> > da n=j+k gesetzt wurde,
>
> [ok]
>  
> > allerdings müsste dann der erste
> > Summenindex doch j sein und nicht n! [kopfkratz2]
>  
> [mm]\summe_{j\in\IZ} y(j) \mathrm{e}^{-2\pi i w (k+j) } \mathop{=}\limits_{\overbrace{j=n-k}} \summe_{n\in\IZ} y(n-k) \mathrm{e}^{-2\pi i w n}[/mm]

Aber wieso steht bei der zweiten Summe nicht n-k als Index? Vorher stand doch da j, da kann doch dann nicht einfach n stehen!???
  
> und dann die beiden Summationen vertauschen:
>  
> [mm]\summe_{k\in\IZ} x(k) \summe_{n\in\IZ} y(n-k) \mathrm{e}^{-2\pi i w n}= \summe_{n\in\IZ}\summe_{k\in\IZ} x(k) y(n-k) \mathrm{e}^{-2\pi i w n}[/mm]

Der Rest war mir schon klar. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]
Bezug
                        
Bezug
Umformung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 Fr 30.11.2007
Autor: rainerS

Hallo Bastiane!

> > [mm]\summe_{j\in\IZ} y(j) \mathrm{e}^{-2\pi i w (k+j) } \mathop{=}\limits_{\overbrace{j=n-k}} \summe_{n\in\IZ} y(n-k) \mathrm{e}^{-2\pi i w n}[/mm]
>  
> Aber wieso steht bei der zweiten Summe nicht n-k als Index?
> Vorher stand doch da j, da kann doch dann nicht einfach n
> stehen!???

Der Index j läuft über alle ganzen Zahlen. Für festes k läuft damit auch j+k=n über alle ganzen Zahlen (ist ja eine bijektive Abbildung zwischen j und n). Das ist eine Umordnung der Reihe; damit die das gleiche Ergebnis ergibt, muss die Reihe absolut konvergent sein. Das wird hier stillschweigend vorausgesetzt.

Viele Grüße
   Rainer
Bezug
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