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| Aufgabe | | [mm] \cosh(1)=\cos(i)=Re(e^i*i)=1/2(e^i*i+e^{-i}*i)=e^{-1}=1/2(e^{-1}+e^1)? [/mm] |
Wo liegt hier der Fehler von mir, muß echt trivial sein, sorry!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Do 02.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
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> [mm]\cosh(1)=\cos(i)=Re(e^i*i)=1/2(e^i*i+e^{-i}*i)=e^{-1}=1/2(e^{-1}+e^1)?[/mm]
> Wo liegt hier der Fehler von mir, muß echt trivial sein,
> sorry!
Meinst du [mm] cos(i)=1/2(e^{i*i}+e^{-i*i})das [/mm] gibt nicht [mm] e^{-1}
[/mm]
denn i*i=-1 -i*i=+1 also das letzte Ergebnis. oder wo lag die frage?
Gruss leduart
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| Aufgabe | Es gelten meiner Meinung nach folgende Formeln:
cos(x)=Re(exp(ix)) (1)
und
cos(x)=1/2*(exp(ix)+exp(-ix)) (2)
In diesem Fall x=i und (1)=(2) ergibt das bei mir
Re(exp(i*i))=exp(-1)=1/2*(exp(-1)+exp(1))
also
exp(-1)=1/exp(1)=exp(1) Widerspruch |
Die Umformung ist meiner Meinung nach richtig aber die Gleichheit beider Formeln fuehrt bei meinen Ueberlegungen zu einem Widerspruch.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Do 23.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hi,
> Es gelten meiner Meinung nach folgende Formeln:
>
> cos(x)=Re(exp(ix)) (1)
Diese Formel gilt nur für reelle x!
Grüße
Rainer
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| Aufgabe | Die Formel 1/2*(...) gilt in jedem Falle für x [mm] \in \IR [/mm] . Die Frage ist warum sie für x [mm] \in \IC [/mm] nicht gelten sollte.
Gruß Andreas
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??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Mi 29.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> Die Formel 1/2*(...) gilt in jedem Falle für x [mm]\in \IR[/mm] .
> Die Frage ist warum sie für x [mm]\in \IC[/mm] nicht gelten sollte.
Das habe ich nicht bestritten. Das war Formel (2). Aber Formel (1) gilt nur für reelle x; der Realteil von [mm]\mathrm{e}^{iz}[/mm] ist nur für reelle z gleich [mm]\cos(z)[/mm].
Damit löst sich dein scheinbarer Widerspruch auf.
Richtig:
Für beliebige [mm]z=x+iy[/mm] (x,y reell) ist [mm]\mathrm{e}^{iz} = \mathrm{e}^{-y} \mathrm{e}^{ix}[/mm]. Also ist
[mm]\Re \mathrm{e}^{iz} = \mathrm{e}^{-\Im z} \cos(\Re z})[/mm]
Oder umgekehrt:
[mm]\cos(z) = \bruch{1}{2} \left(\mathrm{e}^{iz} + \mathrm{e}^{-iz} \right) = \bruch{1}{2} \left(\mathrm{e}^{-y} \mathrm{e}^{ix} + \mathrm{e}^{y} \mathrm{e}^{-ix} \right) [/mm].
Also ist
[mm]\Re \cos(z) = \bruch{1}{2}\left(\mathrm{e}^{-y}\cos(x) + \mathrm{e}^{y} \cos(x)\right) = \cos(x) \cosh(y)[/mm].
Grüße
Rainer
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Hallo,
Der Betreff enthält in Kurzfassung schon das was hier geschrieben werden sollte.
Vielen Dank
Mit freundlichen Grüßen
Andreas
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