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| Aufgabe | | 1*1!+2*2!+...n*n!+(n+1)(n+1)! |
Hallo, ich versuche mich gerade an der Vererbung dieser Aufgabe und habe Verständnisprobleme mit den Umformungsschritten ( Leider nicht selten bei mir).
Es würde mich freuen, wenn sich jemand findet, um mir die Schritte, die ich aus dem Lösungsheft habe, zu erklären.
1*1!+2*2!+...n*n!+(n+1)(n+1)!
=(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!
So und der folgende Schritt bereitet mir Probleme, da verstehe ich nicht, wie ich von (n+1)(n+1)! zu (1+n+1) komme.
= (n+1)!(1+n+1)-1
= (n+1)!(n+2)-1
Und den letzten Schritt kann ich auch nicht nachvollziehen
= (n+2)!-1
Ich wäre echt dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen könnte
Grüße und danke im voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Mi 16.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 1*1!+2*2!+...n*n!+(n+1)(n+1)!
> Hallo, ich versuche mich gerade an der Vererbung dieser
> Aufgabe und habe Verständnisprobleme mit den
Das ist leider keine Aufgabe! Man kann aufgrund der Rubrik in die du diese Frage gestellt hast (Induktionsbeweis) vermuten, dass du
$\summe_{k=1}^{n}{(k*k!)}=(n+1)!-1$
beweisen sollst, richtig!?
> Umformungsschritten ( Leider nicht selten bei mir).
Vielleicht würde es helfen, wenn du dich selbst längere Zeit mit dem Problem beschäftigst und nicht nur versuchst, fertige Lösungen aus dem Lösungsheft nachzuvollziehen. Aber vielleicht hast du das ja ohnedies gemacht und das Lösungsheft war der letzte Ausweg. Ich hoffe das jedenfalls für dich.
Also, ich gehe davon aus, dass Induktionsanfang erledigt ist und die Induktionsvoraussetzung hab ich ja gerade oben formuliert.
Jetzt geht es also um
$\summe_{k=1}^{n+1}{(k*k!)}=\summe_{k=1}^{n}{(k*k!)}+(n+1)*(n+1)!=(n+1)!-1+(n+1)*(n+1)!$
Soweit hattest du es ja schon stehen (und offenbar auch verstanden).
Deine Frage ist also wie es zur Umformung
$\red{(n+1)!}*\green{1}-1\green{+(n+1)}*{\red{(n+1)!}=\red{(n+1)!}*[\green{1+n+1}]-1$
gekommen ist?
Die Antwort ist "Herausheben" des rot markierten Ausdrucks. Ich hoffe die unterschiedlichen Farben machen dir klar, was da passiert ist.
Deine nächste Frage ist, wieso die Beziehung
$(n+1)!*(n+2)=(n+2)!$
gilt. Wirklich, im Ernst?
Na, dann schreib einmal ausführlich auf, wofür $(n+1)!$ abkürzend steht und häng hinten noch ein $*(n+2)$ daran. Ich denke, dass du da selbst draufkommst, warum das $(n+2)!$ ist.
> 1*1!+2*2!+...n*n!+(n+1)(n+1)!
> =(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!
> So und der folgende Schritt bereitet mir Probleme, da
> verstehe ich nicht, wie ich von (n+1)(n+1)! zu (1+n+1)
> komme.
> = (n+1)!(1+n+1)-1
> = (n+1)!(n+2)-1
> Und den letzten Schritt kann ich auch nicht
> nachvollziehen
> = (n+2)!-1
>
>
> Ich wäre echt dankbar, wenn mir jemand weiterhelfen
> könnte
>
> Grüße und danke im voraus
>
Gruß RMix
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
danke dir für deine Hilfestellung.
Tatsächlich habe ich bei der Aufgabenstellung nur das nötigste angegeben, da es mir ja wirklich nur um zwei Umformungsschritte geht.
1*1!+2*2!+...n*n!+(n+1)(n+1)!
=(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!
So und der folgende Schritt bereitet mir Probleme, da
verstehe ich nicht, wie ich von (n+1)(n+1)! zu (1+n+1)
komme.
= (n+1)!(1+n+1)-1
= (n+1)!(n+2)-1
Und den letzten Schritt kann ich auch nicht
nachvollziehen
= (n+2)!-1
Leider fehlt es mir an Erfahrung mit Fakultäten und wie man mit ihnen umgeht.
$ \red{(n+1)!}\cdot{}\green{1}-1\green{+(n+1)}\cdot{}{\red{(n+1)!}=\red{(n+1)!}\cdot{}[\green{1+n+1}]-1 $
Ich habe nun eine Stunde geknobelt und Rechenregeln für Fakultäten gesucht, aber ich verstehe nicht, warum ich $ \red{(n+1)!} einfach so "herausheben "darf?
Tut mir leid, aber bei diesen Umformungen stehe ich total auf dem Schlauch, oder es fehlen mir notwendige Grundkentnisse bzw. ich kann sie nicht einordnen.
Würde mich freuen, wenn mir das jemand mal erläutern könnte.
Grüße und danke im voraus
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Hallo,
> Hallo,
> danke dir für deine Hilfestellung.
> Tatsächlich habe ich bei der Aufgabenstellung nur das
> nötigste angegeben, da es mir ja wirklich nur um zwei
> Umformungsschritte geht.
>
> 1*1!+2*2!+...n*n!+(n+1)(n+1)!
> =(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!
> So und der folgende Schritt bereitet mir Probleme, da
> verstehe ich nicht, wie ich von (n+1)(n+1)! zu (1+n+1)
> komme.
> = (n+1)!(1+n+1)-1
> = (n+1)!(n+2)-1
> Und den letzten Schritt kann ich auch nicht
> nachvollziehen
> = (n+2)!-1
Ich rechne es dir nochmal kommentiert vor (ich rechne jeweils eine Zeile und kommentiere dann darunter):
(n+1)!-1+(n+1)*(n+1)!=(n+1)!+(n+1)*(n+1)!-1
Hier habe ich mal einen Zwischenschritt eingebaut und Summanden vertauscht. Könnte es sein, dass dir dieser Schritt gefehlt hat?
=(n+1)!*(1+(n+1))-1
Jetzt wurde die Fakultät (n+1)! ausgeklammert (und zwar aus den ersten beiden Summanden, aber natürlich nicht aus der -1 am Ende!). Die 1 stammt dabei von der ersten Fakultät, die (n+1) sind der Vorfaktor der zweiten.
=(n+1)!*(n+2)-1
Hier wurde einfach aus n+1+1=n+2 gemacht, da in der oben entstandenen Klammer die innere Klammer um das n+1 eigentlich unnötig ist, man schreibt sie eher, um die Herkunft dieses Terms deutlich zu machen.
Jetzt ist ja n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1*1, woraus sofort für jedes natürliche n die eigentliche Definition der Fakultät
0!=1 ; n!=n*(n-1)!
ersichtlich wird
Und damit sollte das hier
=(n+2)!-1
ebenfalls klar sein, denn es muss ja eben (n+2)*(n+1)!=(n+2)! sein.
>
> Leider fehlt es mir an Erfahrung mit Fakultäten und wie
> man mit ihnen umgeht.
>
> [mm]\red{(n+1)!}\cdot{}\green{1}-1\green{+(n+1)}\cdot{}{\red{(n+1)!}=\red{(n+1)!}\cdot{}[\green{1+n+1}]-1[/mm]
>
> Ich habe nun eine Stunde geknobelt und Rechenregeln für
> Fakultäten gesucht, aber ich verstehe nicht, warum ich $
> [mm]\red{(n+1)!}[/mm] einfach so "herausheben "darf?
>
Nun, das darf man mit jedem Term tun, von dem man weiß, dass er nicht Null sein kann. Mache dir klar, dass man so einen Term wie eine Zahl behandeln kann. Demenstsprechend gelten beim Herausheben/Ausklammern exakt die gleichen Regeln wie beim Ausklammern von Zahlen. Herausheben (falls dir das unbekannt ist) ist ein anderer Begriff für Ausklammern, der meines Wissens nach vor allem in Österrreich gebräuchlich ist.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Do 17.07.2014 | | Autor: | Windbeutel |
Danke dir, jetzt sehe ich die Situation klarer.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Do 17.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> = (n+1)!(n+2)-1
> Und den letzten Schritt kann ich auch nicht
> nachvollziehen
> = (n+2)!-1
kennst Du das Produktzeichen?
[mm] $n!=\produkt_{k=1}^n k=1*2*...*n\,.$
[/mm]
Daraus folgt
[mm] $(\red{n+1})!=\produkt_{k=1}^{\red{n+1}}k=1*2*...*n*(\red{n+1})=(1*2*...*n)*(\red{n+1})=\left(\produkt_{k=1}^nk\right)*(\red{n+1})=n!*(n+1)\,.$
[/mm]
(Ein bisschen was passiert da tatsächlich - man benutzt die Assoziativität
der Multiplikation!)
Schreibe dort jetzt mal etwa [mm] $\tilde{n}$ [/mm] anstatt [mm] $n\,$ [/mm] und ersetze danach dann
[mm] $\tilde{n}=n+1\,.$
[/mm]
Prinzipiell kann man auch (was hier, nach Definition des Produktzeichens,
eigentlich auch mit drinsteckt) sagen:
Für $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] werde $n!$ definiert durch
$0!:=1$
und
$(n+1)!:=n!*(n+1)$ (was das gleiche ist wie $(n+1)*(n!)$).
(Rekursive Definition!)
Aber um mal ein wenig von der allgemeinen Notation wegzugehen: Warum
machst Du Dir die Formel nicht erstmal an einem Beispiel klar? Tatsächlich,
wenn man ungeübt ist, können dann die Beispiele helfen, die Struktur zu
erkennen, die für den allgemeinen Beweis notwendig wären. Ich demonstriere
es mal:
Nehmen wir an, es wäre [mm] $n=5\,$ [/mm] und damit [mm] $n+1=6\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $n+2=7\,.$
[/mm]
Also:
$(n+1)!*(n+2)=6!*7=(1*2*3*4*5*6)*7=1*2*3*4*5*6*7=7!=(n+2)!$
So wäre das natürlich kein Beweis, aber wir können eigentlich alles
übertragen:
[mm] $(n+1)!*(n+2)=(1*2*...*(n+1))*(n+2)=1*2*...*(n+1)*(n+2)=(n+2)!\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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