Umformschritt bei einer W'keit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Do 28.01.2010 | | Autor: | ingo9 |
Hallo,
ich hab da grad mal ein kleines Problem mit dem Verständnis einer Umformung. Bei der Berechnung einer Wahrscheinlichkeit hat unser Prof folgende Umformung vorgenommen:
[mm] w\cdot r\cdot \bruch{(n-w)!}{n!} \cdor\bruch{(n-r)!}{(n-w-r+1)!}
[/mm]
= [mm] w\cdot r\cdot (\produkt_{i=1}^{w-1}\bruch{1}{n-i})\cdot (\produkt_{i=0}^{w-2}(n-r-i))
[/mm]
Wie kommt man dort auf die beiden Produkt-Therme? Wäre cool wenn mir das wer Erklären kann, ich steh nämlich da völlig auf dem Schlauch.
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ingo9 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hallo,
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> ich hab da grad mal ein kleines Problem mit dem
> Verständnis einer Umformung. Bei der Berechnung einer
> Wahrscheinlichkeit hat unser Prof folgende Umformung
> vorgenommen:
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> [mm] $w\cdot r\cdot \bruch{(n-w)!}{n!} \cdor\bruch{(n-r)!}{(n-w-r+1)!}$
[/mm]
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> $= [mm] w\cdot r\cdot (\produkt^{w-1}_{i=\red{1}}\bruch{1}{n-i})\cdot (\produkt_{i=0}^{w-2}(n-r-i))$
[/mm]
Das muss doch [mm] $\red{i=0}$ [/mm] sein ...
>
> Wie kommt man dort auf die beiden Produkt-Therme?
Das sind doch keine heißen Bäder ... 
> Wäre cool wenn mir das wer Erklären kann, ich steh nämlich da völlig auf dem Schlauch.
Wie ist denn die Fakultät definiert?
[mm] $n!=1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}....\cdot{}(n-1)\cdot{}n$
[/mm]
Das gibt für den ersten Term:
[mm] $\frac{(n-w)!}{n!}=\frac{\blue{1\cdot{}2\cdot{}....\cdot{}(n-w+1)\cdot{}(n-w)}}{\blue{1\cdot{}2\cdot{}....\cdot{}(n-w+1)\cdot{}(n-w)}\cdot{}(n-w+1)\cdot{}....\cdot{}\underbrace{(n-w+(w+1))}_{=n-1}\cdot{}n}$
[/mm]
Nun ausgiebig die gemeinsamen Faktoren kürzen und die Reihenfolge der verbleibenden Faktoren im Nenner umdrehen, damit man besser sieht, wie sich die Formel ergibt:
[mm] $=\frac{1}{n\cdot{}(n-1)\cdot{}....\cdot{}(n-w+2)\cdot{}(n-w+1)}$
[/mm]
Und das kannst du wie oben angegeben als Produkt schreiben.
Für den anderen Term kannst du dir das mal analog überlegen ...
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> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Do 28.01.2010 | | Autor: | ingo9 |
Hey Danke schachuzipus.
Da hab ich echt auf dem Schlauch gestanden, jetzt komm ich weiter.
Gruß
Ingo
PS: Das sollte keine weitere Frage werden, kann ich das irgendwie ändern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Do 28.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ich hab da grad mal ein kleines Problem mit dem
> Verständnis einer Umformung. Bei der Berechnung einer
> Wahrscheinlichkeit hat unser Prof folgende Umformung
> vorgenommen:
>
>
> [mm]w\cdot r\cdot \bruch{(n-w)!}{n!} \cdor\bruch{(n-r)!}{(n-w-r+1)!}[/mm]
>
> = [mm]w\cdot r\cdot (\produkt_{i=1}^{w-1}\bruch{1}{n-i})\cdot (\produkt_{i=0}^{w-2}(n-r-i))[/mm]
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> Wie kommt man dort auf die beiden Produkt-Therme? Wäre
> cool wenn mir das wer Erklären kann, ich steh nämlich da
> völlig auf dem Schlauch.
>
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
(n-w)! ist das Produkt aller nat. Zahlen von 1 bis (n-w) und steht im Zähler
n! steht im Nenner und ist das Produkt der Zahlen von 1 bis n.
Da n größer ist als (n-w), stehen im Nenner mehr Faktoren als im Zähler.
Zähler und Nenner haben viele gemeinsame Faktoren (1, 2, .... (n-w)), die sich alle gegenseitig kürzen. Damit ist der Zähler komplett weggekürzt, und im Nenner stehen nur noch die Faktoren ab (n-w+1) bis n, die keinen "Kürzpartner" im Zähler hatten.
Genau das wird durch das Produkt [mm] \produkt_{i=1}^{w-1}\bruch{1}{n-i} [/mm] ausgedrückt (zweites Produkt analog).
Gruß Abakus
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