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Hallo liebes Forum,
mal wieder eine Übungsaufgabe, zu der ich bisher keinen Ansatz sehe:
[mm] \summe_{n=p+1}^{\infty} \bruch{2}{n^{2}-p^{2}}
[/mm]
soll zu
[mm] \bruch{1}{p}*\summe_{n=1}^{\22p} \bruch{1}{n}
[/mm]
geformt werden.
Insbesondere die unendliche Summe auf reele Grenzen zu stutzen bekomme ich einfach nicht hin. Hat jemand einen Tipp?
Achja, [mm] p\in \IN [/mm] beliebig, aber fest.
°amai
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
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Hallo,
> mal wieder eine Übungsaufgabe, zu der ich bisher keinen
> Ansatz sehe:
>
> [mm]\summe_{n=p+1}^{\infty} \bruch{2}{n^{2}-p^{2}}[/mm]
>
> soll zu
>
> [mm]\bruch{1}{p}*\summe_{n=1}^{\22p} \bruch{1}{n}[/mm]
>
> geformt werden.
>
> Insbesondere die unendliche Summe auf reele Grenzen zu
> stutzen bekomme ich einfach nicht hin. Hat jemand einen
> Tipp?
Ja:
Benutze ![[]](/images/popup.gif) Partialbruchzerlegung in "n":
Ansatz:
[mm] $\frac{2}{n^{2}-p^{2}} [/mm] = [mm] \frac{2}{(n-p)*(n+p)} [/mm] = [mm] \frac{A}{n-p} [/mm] + [mm] \frac{B}{n+p}$
[/mm]
Man kommt auf:
[mm] $\frac{2}{n^{2}-p^{2}} [/mm] = [mm] \frac{1}{p}*\left(\frac{1}{n-p} - \frac{1}{n+p}\right)$
[/mm]
Nun hast du
[mm] $\summe_{n=p+1}^{\infty} \bruch{2}{n^{2}-p^{2}} [/mm] = [mm] \frac{1}{p}*\summe_{n=p+1}^{\infty}\left(\frac{1}{n-p} - \frac{1}{n+p}\right)$.
[/mm]
Nun solltest du mittels einer Teleskopsumme untersuchen, was von der unendlichen Summe "übrigbleibt". Was meine ich: Die Summe besteht jetzt aus lauter Summanden, die immer erst etwas dazuaddieren und danach etwas abziehen. Wenn du zum Beispiel die Summanden für n = p+1 und für n = 3p+1 betrachtest und die mal hintereinanderschreibst, was fällt dann auf?
Grüße,
Stefan
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Hallo Stephan,
ah man, eigentlich ganz witzig: Ich hatte auch schon an Partialbruchzerlegung gedacht, und habe für A und B = 1/n gewählt, was zwar den Bruch zerlegt, danach aber in eine Sackgasse führt. Mit 1/p funktioniert es - ist ja ganz schön blöd gelaufen :D Der Schritt danach mit der Teleskopsumme war dann ganz ersichtlich, vielen Dank für deine Hinweise! Schwer wäre die Aufgabe dann nicht mal gewesen... stupid ;)
Grüße,
Lena
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Hallo,
ich hab' auch erst den Fehler mit 1/n gemacht 
Grüße,
Stefan
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