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| Aufgabe | Unter allen Ellipsen mit gegebenem Umfang haben genau die Kreise den maximalen Flächeninhalt. Begründe, dass dies gezeigt ist, sobald man die nachfolgende Ungleichung für den Umfang einer Ellipse mit Halbachsen a und b gezeigt hat:
U [mm] \ge 2\pi\wurzel{ab}
[/mm]
Beweise diese Ungleichung.
Beginne mit dieser Formel:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{a^2sin^2(t)+b^2cos^2(t)}dt} [/mm] |
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel}{a^2sin^2(t)+b^2cos^2(t)}dt
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{(a^2sin^2(t)+b^2cos^2(t))(sin^2(t)+cos^2(t))}dt}
[/mm]
[mm] \ge\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{asin^2(t)+bcos^2(t))^2}dt}
[/mm]
bis hier hin bin ich gekommen, aber ich weiß nicht weiter, wie ich auf die obige Ungleichung kommen soll?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:37 Fr 11.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
wie bist du denn bis da gekommen? das ist i.A. falsch!
wegen [mm] (asint-bcost)^2\ge [/mm] 0 ist [mm] a^2sin^2(t)+b^2cos^2(t)\ge [/mm] ab*2sint*cost=absin(2t)
das = gilt nur fuer a=b
jetzt schaetze das integral durch max des Integranden*Intervalllaenge ab!
Gruss leduart
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