Tychonow < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Do 08.07.2010 | | Autor: | physicus |
Abend zusammen!
Ich hab nur eine ganz kleine Frage zum Beweis vom Satz von Tychonow. Ich halte mich hier an den Beweis aus Munkres.
Zu meiner Frage: Es wird ja gezeigt, dass [mm] \bigcap_{D \in \mathcal{D}} \overline{\pi_{\alpha}}[/mm] nicht leer ist. Das kann man ja sagen, da [mm] X_\alpha [/mm] kompakt ist und ich weiss, dass Kompatkheit äquivalent ist zu: "Jede Kollektion C von abgeschlossenen Mengen in X, welche die endliche Durchschnittseigenschaft besitzt, dann ist der Durchschnitt über alle Elmente in C nicht leer. (Theorem 26.9, in Munkres).
Da ich jetzt weiss, dass [mm] \bigcap_{D \in \mathcal{D}} \overline{\pi_{\alpha}}[/mm] nicht leer ist, kann ich ja einen Punkt darin wählen. Wieso kommt hier das Auswahlaxiom zum Zuge?
Danke für die Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Do 08.07.2010 | | Autor: | pelzig |
Ich habe leider gerade keinen Zugriff auf den Beweis, auf den du dich beziehst, aber prinzipiell kann man in einer nichtleeren Menge ein Element auswählen, ohne Auswahlaxiom. Möglicherweise braucht ja das von dir zitierte Theorem 26.9 das Auswahlaxiom?
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Do 08.07.2010 | | Autor: | physicus |
Nein beim Theorem braucht man das sicher nicht. Mein Problem ist, dass im Munkres nichts von einem Auswahlaxiom gesagt wird, leider hat aber unser Prof. bei dieser Stelle hingeschrieben: mit Auswahlaxiom.
(es kann natürlich auch falsch sein.)
Würde es helfen, wenn ich den Beweis bis dahin abschreibe? Ist ziemlich am Anfang.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Do 08.07.2010 | | Autor: | pelzig |
> Nein beim Theorem braucht man das sicher nicht. Mein
> Problem ist, dass im Munkres nichts von einem Auswahlaxiom
> gesagt wird, leider hat aber unser Prof. bei dieser Stelle
> hingeschrieben: mit Auswahlaxiom.
> (es kann natürlich auch falsch sein.)
Tja wie gesagt, wenn ich aus einer nichtleeren Menge ein Element auswähle, brauch ich kein Auswahlaxiom.
> Würde es helfen, wenn ich den Beweis bis dahin abschreibe?
> Ist ziemlich am Anfang.
Ja ich denke das würde helfen.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:01 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Abend zusammen!
>
> Ich hab nur eine ganz kleine Frage zum Beweis vom Satz von
> Tychonow. Ich halte mich hier an den Beweis aus Munkres.
> Zu meiner Frage: Es wird ja gezeigt, dass [mm]\bigcap_{D \in \mathcal{D}} \overline{\pi_{\alpha}}[/mm]
> nicht leer ist. Das kann man ja sagen, da [mm]X_\alpha[/mm] kompakt
> ist und ich weiss, dass Kompatkheit äquivalent ist zu:
> "Jede Kollektion C von abgeschlossenen Mengen in X, welche
> die endliche Durchschnittseigenschaft besitzt, dann ist der
> Durchschnitt über alle Elmente in C nicht leer. (Theorem
> 26.9, in Munkres).
> Da ich jetzt weiss, dass [mm]\bigcap_{D \in \mathcal{D}} \overline{\pi_{\alpha}}[/mm]
> nicht leer ist, kann ich ja einen Punkt darin wählen.
> Wieso kommt hier das Auswahlaxiom zum Zuge?
> Danke für die Hilfe!
schreib' den Beweis vll. mal hin. Ich sehe nun auch nicht, wozu man das Auswahlaxiom bräuchte, um ein Element aus einer Menge zu wählen. Was das Auswahlaxiom besagt, kannst Du ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen. Natürlich kann man sagen, dass das Auswahlaxiom diese Folgerung impliziert, aber dann "schießt man mit Kanonenkugeln auf Mücken" (noch nicht mal Spatzen).
Ich persönlich finde übrigens die Charakterisierung in der Produktschreibweise
[mm] $$X_i \not=\emptyset\;\;\; \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I$$
[mm] $$\Rightarrow \produkt_{i \in I} X_i=\{f: I \to \bigcup_{i \in I}X_i: f(j) \in X_j\forall j \in I\} \not=\emptyset$$
[/mm]
viel einleuchtender und intuitiver und leichter zu behalten. (Das kartesische Produkt nichtleerer Mengen ist stets nicht leer; bzw. in äquivalenter Form: Ist das kartesische Produkt leer, so muss für einen Index auch die zugehörige Menge leer gewesen sein.)
Aber das ist vll. Geschmackssache.
Es hat aber den Vorteil:
[mm] $$\produkt_{i \in I} X_i \not=\emptyset \gdw \exists [/mm] f [mm] \in \produkt_{i \in I} X_i\,.$$
[/mm]
Dies ist quasi die "formale Charakterisierung der Existenz einer Auswahlfunktion".
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:53 Fr 09.07.2010 | | Autor: | physicus |
Also ich geb euch den Beweis mal an:
Sei [mm] X =\produkt_{\alpha \in J} X_\alpha [/mm], wobei jedes $ [mm] X_\alpha$ [/mm] kompakt ist. Nun sei weiter $ [mm] \mathcal{A} [/mm] $ eine Kollektion von Teilmengen von X, welche die endliche Durchschnittseigenschaft besitzt. Was man nun zeigen möchte ist, dass:
[mm] \bigcap_{A \in \mathcal{A}} \overline{A} \not= \emptyset [/mm]
(Daraus folgt, mit dem Theorem das ich angegeben habe, dass X kompakt ist.)
Man kann nun eine Kollektion $ [mm] \mathcal{D}$ [/mm] wählen, so dass $ [mm] \mathcal{A} \subset \mathcal{D} [/mm] $ und $ [mm] \mathcal{D} [/mm] $ ist maximal im Bezug auf die endliche Durchschnittseigenschaft. (Dass man das wählen kann, zeigt man in einem Lemma vor dem Beweis). Demzufolge genügt es zu zeigen, dass
[mm] \bigcap_{D \in \mathcal{D}} \overline{D} \not= \emptyset [/mm]
Für ein gegebenes $ [mm] \alpha \in [/mm] J $ sei $ [mm] \pi_\alpha [/mm] : X [mm] \to X_\alpha [/mm] $ die Projektionsabbildung. Nun betrachte man die Menge
[mm] \{\pi_\alpha (D) | D \in \mathcal{D} \} [/mm]
Das sind Teilmengen von $ [mm] X_\alpha [/mm] $. Diese Kollektion besitzt ebenfalls die endliche Durchschnittseigenschaft. Nun kommt die Frage: Da ich weiss, dass $ [mm] X_\alpha [/mm] $ kompakt ist, weiss ich, dass
[mm] \bigcap_{D \in \mathcal{D}} \overline{\pi_\alpha (D)} \not= \emptyset [/mm]
für jedes $ [mm] \alpha$. [/mm] Im Munkres wählen sie daher für jedes $ [mm] \alpha [/mm] $ einen Punkt $ [mm] x_\alpha [/mm] $ in diesem Durchschnitt. Bei uns in der Vorlesung steht an dieser Stelle aber: hier Auswahlaxiom.
Von dort kommt meine Frage. Ich hoffe, dass es jetzt besser verständlich ist. Schon jetzt: Danke für eure Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Fr 09.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Für $ [mm] \alpha \in [/mm] J$ setze
[mm] $A_{\alpha}:= \bigcap_{D \in \mathcal{D}} \overline{\pi_\alpha (D)}$
[/mm]
und obiger Beweis zeigt: jedes [mm] A_{\alpha} [/mm] ist nicht leer.
Nun wird aus jedem [mm] A_{\alpha} [/mm] ein Element [mm] x__{\alpha} [/mm] ausgewählt.
Dafür benötigt man das Auswahlaxiom !!
Sieh mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:10 Fr 09.07.2010 | | Autor: | physicus |
Hm...ja...ich glaub mich verwirrt mehr das Auswahlaxiom. Es ist einfach schwer vorstellbar, dass ich aus nichtleeren Mengen nicht einfach ein Element auswählen kann(auch wenn es hier natürlich beliebig viele nichtleere Mengen sind).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Fr 09.07.2010 | | Autor: | physicus |
Eine kleine Frage aber habe ich noch:
Um das Auswahlaxiom anzuwenden, müssen ja die $ [mm] A_\alpha$'s [/mm] disjunkt sein (paarweise). (Bei uns wurde das Auswahlaxiom wie folgt eingeführt: Sei $ [mm] \mathcal{A}$ [/mm] eine Kollektion von disjunkten, nichtleeren Menge, dann gibt es eine Menge C, welche aus jeder Teilmenge von $ [mm] \mathcal{A}$ [/mm] genau ein Element hat.)
Aber z.B. kann ich ja das Produkt $ [mm] [0,1]^\IN$ [/mm] anschauen. Also: [mm] [0,1] \times [0,1] \times \cdots [/mm]. Aber hier sind die Mengen ja nicht paarweise disjunkt.
Was ist wenn ich oben habe $ [mm] X_{\alpha_i} [/mm] = [mm] X_{\alpha_k} [/mm] $. Dann sind auch die $ [mm] A_{\alpha_i} [/mm] = [mm] A_{\alpha_k}$ [/mm] also nicht paarweise disjunkt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Fr 09.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Eure Formulierung ist eine alternative Formulierung des Auswahlaxioms.
Schau noch mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Eine kleine Frage aber habe ich noch:
>
> Um das Auswahlaxiom anzuwenden, müssen ja die [mm]A_\alpha[/mm]'s
> disjunkt sein (paarweise). (Bei uns wurde das Auswahlaxiom
> wie folgt eingeführt: Sei [mm]\mathcal{A}[/mm] eine Kollektion von
> disjunkten, nichtleeren Menge, dann gibt es eine Menge C,
> welche aus jeder Teilmenge von [mm]\mathcal{A}[/mm] genau ein
> Element hat.)
> Aber z.B. kann ich ja das Produkt [mm][0,1]^\IN[/mm] anschauen.
> Also: [mm][0,1] \times [0,1] \times \cdots [/mm]. Aber hier sind die
> Mengen ja nicht paarweise disjunkt.
> Was ist wenn ich oben habe [mm]X_{\alpha_i} = X_{\alpha_k} [/mm].
> Dann sind auch die [mm]A_{\alpha_i} = A_{\alpha_k}[/mm] also nicht
> paarweise disjunkt.
daraus kannst Du aber sicherlich dennoch folgern, dass das Auswahlaxiom (in der Formulierung mit "Ist [mm] $A\,$ [/mm] irgendeine Menge nichtleerer (nicht notwendig paarweise disjunkter) Mengen, dann gibt es eine Auswahlfunktion" oder in der mit dem kartesischen Produkt) gilt (und dann ist schon klar, dass die Formulierungen einander gleichwertig sind; denn die andere Richtung ist trivial, denn wenn etwas für jede Menge nichtleerer Mengen gilt, dann gilt das natürlich auch für jede Menge paarweise disjunkter nichtleerer Mengen).
Bei [mm] $[0,1]^\IN=\produkt_{k=1}^\infty A_k$ [/mm] mit [mm] $A_k=[0,1]$ [/mm] wäre übrigens die zugrundeliegende Kollektion [mm] $\mathcal{A}\,$ [/mm] gegeben durch
[mm] $$\mathcal{A}=\{A_k: k \in \IN\}=\bigcup_{k=1}^\infty \{A_k\}=\bigcup_{k=1}^\infty \{[0,1]\}=\{[0,1]\}\,,$$
[/mm]
und hier enthält [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] also wirklich nur nichtleere und disjunkte Mengen als Elemente.
(Denn Du weißt doch, dass man bei [mm] $\{a_k: k \in \IN\}$ [/mm] gleiche Elemente nicht mehrmals zählt. Z.B. ist für
[mm] $$a_n=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$$
[/mm]
eben [mm] $\{a_k: k \in \IN\}=\{0,1\}\,,$ [/mm] obwohl wir unendlich viele Folgenglieder haben.)
Du hast also hier einen sehr einfachen Speziallfall aufgezählt (denn wenn [mm] $X_{a_i}=X_{a_k}\,,$ [/mm] dann kommt in [mm] $\mathcal{A}=\{X_a: a \in I\}$ [/mm] die Menge [mm] $X_{a_i}$ [/mm] eh nur genau einmal vor).
Komplizierter, um das Auswahlaxiom in Eurer Formulierung direkt anwenden zu können, wird's eigentlich wirklich, wenn man nichtleere [mm] $X_i$ [/mm] und [mm] $X_j$ [/mm] ($i [mm] \not=j$) [/mm] hat, die einen nichtleeren Schnitt haben. Z.B. kann man bei [mm] $X_1=\{1,2,3\}$ [/mm] und [mm] $X_2=\{2,3\}$ [/mm] dann ja eben nicht einfach nur
[mm] $$\mathcal{A}=\{X_1,\;X_2\}$$
[/mm]
betrachten, um darauf das Auswahlaxiom in Eurer Formulierung anzuwenden, da [mm] $X_1 \cap X_2=\{2,3\} \not=\emptyset\,.$ [/mm] Hier muss man sich quasi ein geeignetes [mm] $\mathcal{A}\,$ [/mm] konstruieren, so dass dieses dann nur noch "passende" disjunkte nichtleere Mengen als Elemente hat (was natürlich bei zwei oder endlich vielen Mengen vll. keine Kunst ist; aber wenn man unendlich viele paarweise verschiedene nichtleere [mm] $X_i$ [/mm] hat, dann wird's sicher aufwendiger, ein solch passendes [mm] $A\,$ [/mm] zu konstruieren).
Wenn man allerdings weiß, dass das Auswahlaxiom in der ersten Formulierung von hier mit Eurer äquivalent ist, macht man es sich natürlich einfach und arbeitet dann mit dieser.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Fr 09.07.2010 | | Autor: | physicus |
Danke für deine Interessanten Ausführungen. Allerdings bin ich jetzt doch etwas ins Zweifeln gekommen. Abgesehen davon, dass man weiss, dass beide Definition äquivalent sind, nochmals zurück zu meinem Bsp.:
Ich habe ein unendliches kartesische Produkt $ X = [mm] \produkt X_\alpha [/mm] $. Nun es kann ja sein, dass zwei Räume hier die gleichen sind. Es müssen ja nicht umbedingt alle Räume paarweise verschieden sein. Im Beweis nimmt ja eine Kollektion von Teilmengen von $ X$. Ob ich jetzt $ [mm] \mathcal{D} [/mm] $ oder $ [mm] \mathcal{A} [/mm] $ betrachte ist jetzt mal egal. Wenn zwei Räume gleich sind, sind wie ich schon geschrieben habe ihre $ A $ auch gleich (also der Durschnitt unter abgeschlossenem Bild der Projektion) dennoch kann ich hier ja nicht einfach eine Menge weglassen. Ich müsste hier ja aus zwei gleichen Mengen ein Elment auswählen (was nach unserer Definition nicht geht). Entschuldige wenn ich dich hier nicht ganz verstanden habe.
> Bei [mm][0,1]^\IN=\produkt_{k=1}^\infty A_k[/mm] mit [mm]A_k=[0,1][/mm] wäre
> übrigens die zugrundeliegende Kollektion [mm]\mathcal{A}\,[/mm]
> gegeben durch
> [mm]\mathcal{A}=\{A_k: k \in \IN\}=\bigcup_{k=1}^\infty \{A_k\}=\bigcup_{k=1}^\infty \{[0,1]\}=\{[0,1]\}\,,[/mm]
>
Es muss ja nicht umbedingt gelten, dass $ [mm] A_k [/mm] = [0,1]$. Es könnte ja auch $ [mm] A_k [/mm] = [mm] [\bruch{1}{2},\bruch{3}{4}] [/mm] $ sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine Interessanten Ausführungen. Allerdings
> bin ich jetzt doch etwas ins Zweifeln gekommen. Abgesehen
> davon, dass man weiss, dass beide Definition äquivalent
> sind, nochmals zurück zu meinem Bsp.:
>
> Ich habe ein unendliches kartesische Produkt [mm]X = \produkt X_\alpha [/mm].
> Nun es kann ja sein, dass zwei Räume hier die gleichen
> sind. Es müssen ja nicht umbedingt alle Räume paarweise
> verschieden sein. Im Beweis nimmt ja eine Kollektion von
> Teilmengen von [mm]X[/mm]. Ob ich jetzt [mm]\mathcal{D}[/mm] oder [mm]\mathcal{A}[/mm]
> betrachte ist jetzt mal egal. Wenn zwei Räume gleich sind,
> sind wie ich schon geschrieben habe ihre [mm]A[/mm] auch gleich
> (also der Durschnitt unter abgeschlossenem Bild der
> Projektion) dennoch kann ich hier ja nicht einfach eine
> Menge weglassen. Ich müsste hier ja aus zwei gleichen
> Mengen ein Elment auswählen (was nach unserer Definition
> nicht geht). Entschuldige wenn ich dich hier nicht ganz
> verstanden habe.
wenn Du bei zwei gleichen Mengen ja schon aus einer ein Element auswählen kannst, so kannst Du das selbe ja auch bei der anderen auswählen. Wenn man nun viele nichtleere Mengen hat, die entweder paarweise verschieden oder gleich sind, dann entstehen in der Kollektion nur noch paarweise verschiedene nichtleere Mengen, da man die Mengen, die in der Kollektion ja Elemente sind, nicht mehrmals zählt, da man gleiche Elemente nicht mehrfach zählt.
>
>
> > Bei [mm][0,1]^\IN=\produkt_{k=1}^\infty A_k[/mm] mit [mm]A_k=[0,1][/mm] wäre
> > übrigens die zugrundeliegende Kollektion [mm]\mathcal{A}\,[/mm]
> > gegeben durch
> > [mm]\mathcal{A}=\{A_k: k \in \IN\}=\bigcup_{k=1}^\infty \{A_k\}=\bigcup_{k=1}^\infty \{[0,1]\}=\{[0,1]\}\,,[/mm]
>
> >
>
> Es muss ja nicht umbedingt gelten, dass [mm]A_k = [0,1][/mm]. Es
> könnte ja auch [mm]A_k = [\bruch{1}{2},\bruch{3}{4}][/mm] sein.
Wenn alle [mm] $A_k=[1/2,\;3/4]$ [/mm] sind, dann ist [mm] $\mathcal{A}=\{[1/2,\;3/4]\}\,.$ [/mm] Schlechter wird's halt schon, wenn manche [mm] $A_k=[0,1]$ [/mm] und andere [mm] $A_j=[1/2,\;3/4]$ [/mm] sind (und ganz viele andere [mm] $A_m$'s [/mm] vielleicht nochmal anders aussehen).
P.S.:
Ich hoffe nur, ich habe Dich richtig verstanden?
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Fr 09.07.2010 | | Autor: | physicus |
Beim ersten Thema reden wir glaube ich aneinander vorbei:). Es ist ja nicht gesagt, dass ich aus gleichen Mengen das gleiche Element auswähle, oder?. Zudem stell ich mir das als einen unendlichdimensionalen Vektor vor: $ [mm] (x_{\alpha_1},x_{\alpha_2},x_{\alpha_3}, \cdots [/mm] )$. Es kann ja sein, dass ich zwei gleiche Elemente gewählt habe, aber dann darf ich das ja nicht einfach weglassen (sonst ist das ja nicht mehr ein entsprechendes Element aus $ [mm] \produkt X_\alpha [/mm] $
> Wenn alle [mm]A_k=[1/2,\;3/4][/mm] sind, dann ist
> [mm]\mathcal{A}=\{[1/2,\;3/4]\}\,.[/mm] Schlechter wird's halt
> schon, wenn manche [mm]A_k=[0,1][/mm] und andere [mm]A_j=[1/2,\;3/4][/mm]
> sind (und ganz viele andere [mm]A_m[/mm]'s vielleicht nochmal anders
> aussehen).
>
> P.S.:
> Ich hoffe nur, ich habe Dich richtig verstanden?
>
> Beste Grüße,
> Marcel
Genau dass meinte ich aber, wenn all meine $ [mm] A_k [/mm] $ verschieden sind. Dann wird das doch ziemlich schwierig, oder?
Danke für deine Geduld:)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beim ersten Thema reden wir glaube ich aneinander vorbei:).
> Es ist ja nicht gesagt, dass ich aus gleichen Mengen das
> gleiche Element auswähle, oder?. Zudem stell ich mir das
> als einen unendlichdimensionalen Vektor vor:
> [mm](x_{\alpha_1},x_{\alpha_2},x_{\alpha_3}, \cdots )[/mm]
zunächst mal:
Bei der "Vektordarstellung" hast Du aber schon zwei Probleme: Zum einen muss die Indexmenge ja nicht abzählbar sein, Du deutest aber einen Vektor an, der "durchnummeriert" ist.
Was ist mit überabzählbaren Indexmengen? Deswegen definiert man ja das kartesische Produkt meist als die Menge aller Funktionen mit ..., und wenn man dann abzählbare oder endliche Mengen hat, kann man natürlich mit einer solchen "Vektordarstellung" arbeiten.
(Folgen bzw. abbrechende Folgen sind dann im Prinzip ja nur spezielle Funktionen, mit einem gewissen Definitionsbereich. Aber nicht jede Funktion $f: I [mm] \to \bigcup_{i \in I}X_i$ [/mm] hat einen Definitionsbereich [mm] $I\,,$ [/mm] den wir abzählen können.)
Zum anderen:
Immer, wenn man bei Indexmengen mit solchen "Vektor-Indexdarstellung" arbeiten will, so braucht man ja irgendwo eine "Sortierreihenfolge", also gewisse Anordnungen der Indizes. Bei genauerer Untersuchung kommt man vermutlich zum Begriff der Wohlordnung (ich bin mir da aber nicht (mehr) zu 100% sicher, es kann also sein, dass ich hier Unfug rede und einen großen Patzer mache! Man weise mich ggf. bitte darauf hin!), womit man sich wieder im Kreise dreht, da dass dann wieder zum Auswahlaxiom führt.
> . Es kann
> ja sein, dass ich zwei gleiche Elemente gewählt habe, aber
> dann darf ich das ja nicht einfach weglassen (sonst ist das
> ja nicht mehr ein entsprechendes Element aus [mm]\produkt X_\alpha[/mm]
Ne, es steht doch nirgends, dass für eine Familie [mm] $(\tilde{f})_{i \in I}\equiv(\tilde{f}(i))_{i \in I}$ [/mm] nun [mm] $\tilde{f}(i) \not=\tilde{f}(j)$ [/mm] für $i [mm] \not=j$ [/mm] sein muss. Zum Beispiel:
Wir betrachten [mm] $X_j=\{1,2\}$ [/mm] ($j [mm] \in \IN \setminus\{2,5,7,9,11\}$) [/mm] und [mm] $X_2=X_5=X_7=\{3,4\}$ [/mm] und [mm] $X_9=X_{11}=\{4,5\}\,.$
[/mm]
Wir setzen [mm] $\mathcal{A}=\{X_j: j \in \IN\}$ [/mm] und dann ist
[mm] $$\mathcal{A}=\{\{1,2\},\{3,4\},\{4,5\}\}\,.$$
[/mm]
Dann ist [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] eine Menge nichtleerer Teilmengen und nach Wiki (siehe Link) gibt es daher eine Auswahlfunktion. Wir geben eine solche an:
[mm] $$f(X)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } X=\{1,2\} \\ 3, & \mbox{für } X=\{3,4\}\\ 5, & \text{ für }X=\{4,5\} \end{cases}\,.$$
[/mm]
Natürlich ist hier speziell [mm] $f(X_j)=1$ [/mm] für $j [mm] \in \IN \setminus\{2,5,7,9,11\}$, [/mm] aber wegen $1 [mm] \in \{1,2\}=X_j$ [/mm] ($j [mm] \in \IN \setminus\{2,5,7,9,11\}$) [/mm] ist es zulässig, dies speziell so zu definieren.
Zudem: Wegen z.B. [mm] $X_1=X_3$ [/mm] kann man nicht [mm] $f(X_1)\not=f(X_3)$ [/mm] definieren, da andernfalls [mm] $f\,$ [/mm] keine Funktion mehr wäre! Und aus einer nichtleeren Menge kann man natürlich ein Element auswählen.
Dann wäre in der Produktdarstellung
$$(1, 3, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 5, 1, 1, 1, 1, [mm] \ldots) \in \produkt_{k=1}^\infty X_k$$
[/mm]
eben links mithilfe der obenstehenden Auswahlfunktion (als unendliche Folge, was dann ja auch nur eine spezielle Funktion ist) das zugehörige Element entsprechend zu definieren (dieses ist eigentlich ja auch selbst wieder eine Funktion!), durch welches man erkennt, dass [mm] $\produkt_{k=1}^\infty X_k \not=\emptyset\,.$
[/mm]
Genauer:
Man definiert
[mm] $$\tilde{f}: [/mm] I [mm] \to \bigcup_{i \in I}X_i$$
[/mm]
durch
[mm] $$\tilde{f}(i):=f(X_i)\,.$$
[/mm]
> > Wenn alle [mm]A_k=[1/2,\;3/4][/mm] sind, dann ist
> > [mm]\mathcal{A}=\{[1/2,\;3/4]\}\,.[/mm] Schlechter wird's halt
> > schon, wenn manche [mm]A_k=[0,1][/mm] und andere [mm]A_j=[1/2,\;3/4][/mm]
> > sind (und ganz viele andere [mm]A_m[/mm]'s vielleicht nochmal anders
> > aussehen).
> >
> > P.S.:
> > Ich hoffe nur, ich habe Dich richtig verstanden?
> >
> > Beste Grüße,
> > Marcel
>
> Genau dass meinte ich aber, wenn all meine [mm]A_k[/mm] verschieden
> sind. Dann wird das doch ziemlich schwierig, oder?
Ich denke schon. Also den Beweis zu
"Wenn es für jede Kollektion nichtleerer paarweise disjunkter Mengen eine Menge [mm] $C\,$ [/mm] gibt mit ..."
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] "Für jede Menge nichtleerer Mengen existiert eine Auswahlfunktion"
auf einem konstruktivem Wege zu führen erscheint mir nicht gerade einfach oder trivial. Gefühlsmäßig tippe ich sogar darauf, dass man dies eigentlich stets per Widerspruch (oder indirekt) zeigt. Ein konstruktiver Weg wäre aber durchaus interessant, denn dann weiß man, wie man z.B. in solch speziellen Fällen die erste Aussage im Link auf die von Euch gegebene "Kollektionsdefinition" zurückführen kann.
Beste Grüße,
Marcel
|
|
|
|
