Tschebyscheff und Poisson < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für $n [mm] \in \mathbb{N}$ [/mm] sei [mm] $X_n$ [/mm] eine Poisson(n)-verteilte Zufallsgröße. Zeigen Sie für $n [mm] \to \infty$:
[/mm]
[mm] \paragraph{(a)} $P(X_n \geq nt)\to [/mm] 0$ für $t >1$
[mm] \paragraph{(b)} $P(X_n \geq nt)\to [/mm] 1$ für $t <1$
[mm] \paragraph{(c)}$P(X_n \geq nt)\to \frac{1}{2}$ [/mm] für $t =1$
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Hallo! Ich lerne gerade für eine Klausur und würde mich über Kritik zu meinen Ansätzen freuen.
[mm] \paragraph{a)}
[/mm]
Da die [mm] $X_n$ [/mm] Poisson-verteilt sind, sind sie quadratisch integrierbar. Wir zeigen nur mittels der [mm] Tschebyschev-Ungleichung:\\
[/mm]
Für $t >1$
[mm] \begin{matrix}
P(X_n \geq nt) =P(X_n-n\geq (t-1)n)\\
\leq P(|X_n-n|\geq (t-1)n)\\
\leq \frac{n}{((t-1)n)^2} \text{ und }\\
\lim_{n \to \infty} \frac{n}{(t-1)^2 n^2} = 0
\end{matrix}
[/mm]
[mm] \paragraph{b)}
[/mm]
Für $t < 1$ gilt:
[mm] \begin{matrix}
P(X_n \geq nt) = P(X_n-n \geq n(t-1)) \\
= P(-X_n+n \leq -n(t-1)) \\
= 1 - P(-X_n+n > -n(t-1)) \\
\geq 1 - P(-X_n + n \geq -n(t-1)) \\
\geq 1 - P(|-X_n + n| \geq -n(t-1))
\end{matrix}
[/mm]
Mit der Tschebyscheff-Ungleichung folgt
[mm] P(|-X_n + n| \geq -n(t-1)) \leq \frac{n}{(-n(t-1))^2} \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} 0 [/mm]
und somit auch
[mm] P(X_n \geq nt) \overset{n \to \infty}{\longrightarrow} 1 [/mm]
[mm] \paragraph{c)} [/mm] Da kann man angeblich ausnutzen, dass die Poission-Verteilung durch die Normal-Verteilung angenähert werden kann. Kriege den Bogen aber leider nicht hin ...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:05 Do 02.04.2009 | | Autor: | axi0m |
Hi Stracklatte,
Ich bin wie bei deiner vorigen Frage unsicher, aber zu c fällt mir mir auf, dass für t=1 gilt:
[mm] P(X_n [/mm] >= [mm] nt)=P(X_n [/mm] >= [mm] n)P(X_n-n [/mm] >= 0)
Nun gilt wie du richtig beschrieben hast, das die Poissonverteilung für große n durch die Normalverteilung angenähert wird. Wenn du den Erwartungswert von der Normalverteilung abziehst zentrierst du diese ja wieder im Nullpunkt. Dann ist die Wahrscheinelichkeit 1/2 (Symmetrie im Nullpunk)
Wie man das Ganze formal korrekt aufschreibt...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Mo 06.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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