Tschebyscheff anwenden < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 So 22.09.2013 | | Autor: | starki |
| Aufgabe | | Wie oft muss ein Würfel geworfen werden, damit das arithmetische Mittel der Augenzahlen mit einer Sicherheit von 60 % um weniger als 0,25 vom Erwartungswert (3,5) eines Wurfs abweicht? |
Also, mein Gedankengang war so:
Gesucht ist die Anzahl und wir haben es hier mit einer relativen Häufigkeit zu tun. Wir nutzen hier die Tschebyscheff-Formel:
Also X' = [mm] \frac{X}{n}
[/mm]
P(|X' - 3,5| < 0,25) [mm] \ge [/mm] 0,6
Erwartungswert ist 3,5 von einem Wurf
Varianz von einem Wurf ist 2,92
Var(X') = [mm] Var(\frac{X}{n}) [/mm] = [mm] \frac{1}{n^2} [/mm] * Var(X)
[Ist die Formel so richtig? ]
Nun setzen wir ein
0,6 = [mm] \frac{Var(X')}{0,25^2} [/mm] = [mm] \frac{Var(X)}{n^2 * 0,25^2}
[/mm]
Nach [mm] n^2 [/mm] auflösen,
[mm] n^2 [/mm] = 77,87
n = 8,824
Wir müssen also mindestens 8 mal würfeln, damit das arithmetische Mittel der Augenzahlen mit einer Sicherheit von 60% um weniger als 0,25 vom Erwartungswert abweicht.
Aber irgendwie scheint mir die 8 da etwas wenig vorzukommen ...
Wäre nett wenn ihr kurz mal drüber schauen könntet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 So 22.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo starki,
> Wie oft muss ein Würfel geworfen werden, damit das
> arithmetische Mittel der Augenzahlen mit einer Sicherheit
> von 60 % um weniger als 0,25 vom Erwartungswert (3,5) eines
> Wurfs abweicht?
> Gesucht ist die Anzahl und wir haben es hier mit einer
> relativen Häufigkeit zu tun. Wir nutzen hier die
> Tschebyscheff-Formel:
Die Tschebyscheff-Formel ist leider nur eine Ungleichung und keine Gleichung. Damit kann man letztlich auch die gesuchte kleinste Anzahl nur abschätzen und nicht exakt bestimmen. Eine exakte Lösung habe ich noch nicht gefunden und vermute, dass dies realistischerweise auch nur mit Computer-Hilfe möglich ist. Vielleicht ist der/die Aufgabensteller(in) ja schon mit der Abschätzung zufrieden.
> Also X' = [mm]\frac{X}{n}[/mm]
Anscheinend soll $X$ die Summe der Augenzahlen beschreiben, also
[mm] $X:=\sum_{i=1}^nX_i$,
[/mm]
wenn [mm] $X_i$ [/mm] die im $i$-ten Wurf gewürfelte Augenzahl beschreibt [mm] ($i=1,\ldots,n$).
[/mm]
> P(|X' - 3,5| < 0,25) [mm]\ge[/mm] 0,6
Ja, gesucht sind die $n$, für die dies gilt.
> Erwartungswert ist 3,5 von einem Wurf
> Varianz von einem Wurf ist 2,92
>
> Var(X') = [mm]Var(\frac{X}{n})[/mm] = [mm]\frac{1}{n^2}[/mm] * Var(X)
> [Ist die Formel so richtig? ]
Ja.
> Nun setzen wir ein
>
> 0,6 = [mm]\frac{Var(X')}{0,25^2}[/mm] = [mm]\frac{Var(X)}{n^2 * 0,25^2}[/mm]
Die Tschebyscheff-Ungleichung liefert dir
[mm] $P(|X'-EX'|\blue{\ge}0,25)\le\bruch{\operatorname{Var}X'}{0,25^2}$
[/mm]
(beachte das blaue [mm] $\blue{\ge}$; [/mm] da steht kein $<$!).
Mit $0,6$ gleichsetzen ergibt jedoch allenfalls Sinn für
[mm] $P(|X'-3,5|\blue{<}0,25)$.
[/mm]
Außerdem solltest du noch nachrechnen/begründen, dass tatsächlich $EX'=3,5$ gilt.
> Nach [mm]n^2[/mm] auflösen,
> [mm]n^2[/mm] = 77,87
Hier hast du offensichtlich für [mm] $\operatorname{Var}(X)$ [/mm] die Varianz der Augenzahl eines einzelnen Würfelwurfes eingesetzt. $X$ ist aber die Summe der Augenzahlen von $n$ Würfelwürfen.
> n = 8,824
>
> Wir müssen also mindestens 8 mal würfeln, damit das
> arithmetische Mittel der Augenzahlen mit einer Sicherheit
> von 60% um weniger als 0,25 vom Erwartungswert abweicht.
Folgerichtig wäre: Mindestens 9 Würfe sind hinreichend.
> Aber irgendwie scheint mir die 8 da etwas wenig
> vorzukommen ...
Mit diesem Gefühl liegst du richtig.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 So 22.09.2013 | | Autor: | starki |
Also ich mach das jetzt mal Schritt für Schritt, weil ich mir bei diesem Aufgabentyp noch nicht ganz sicher bin und mir bei der Antwort noch nicht klar ist, was genau mein Fehler ist.
Erstmal zum Erwartungswert ?
Also, X' = [mm] \frac{\summe_{i=1}^{n}X_i}{n}
[/mm]
E[X'] = [mm] E[\frac{\summe_{i=1}^{n}X_i}{n}] [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] * [mm] E[\summe_{i=1}{n} X_i] [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] * n * E[X]
Var[X'] = [mm] Var[\frac{\summe_{i=1}^{n}X_i}{n}] [/mm] = [mm] \frac{1}{n^2} [/mm] * [mm] Var[\summe_{i=1}{n} X_i] [/mm] = [mm] \frac{1}{n^2} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}{n}Var(X_i) [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] * [mm] Var(X_i)
[/mm]
Nun gilt es ja das kleinste n zu finden, für das gilt:
P(|X' - 3,5| < 0,25) [mm] \ge [/mm] 0.6
0.6 = 1 - [mm] \frac{Var(X')}{0,25^2}
[/mm]
Also muss
[mm] \frac{Var(X')}{0,25^2} [/mm] = 0,4 gelten
Wir schreiben um
0,4 * [mm] 0.25^2 [/mm] = Var(X') = [mm] \frac{1}{n}Var(X_i)
[/mm]
Umformen nach n ergibt:
n = [mm] \frac{Var(X_i)}{0,4 * 0.25^2} [/mm] => n = 116 (ohne Nachkommastellen)
Stimmt der Lösungsweg jetzt ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 So 22.09.2013 | | Autor: | luis52 |
> Stimmt der Lösungsweg jetzt ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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Hallo starki,
nur zum Vergleich die Lösung nach Normalverteilung:
da sieht man, dass auch n=34 schon genügen sollte,
also weniger als ein Drittel des [mm] n_{Tschebyscheff}=116 [/mm] !
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 So 22.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Also, X' = [mm]\frac{\summe_{i=1}^{n}X_i}{n}[/mm]
>
> E[X'] = [mm]E[\frac{\summe_{i=1}^{n}X_i}{n}][/mm] = [mm]\frac{1}{n}[/mm] *
> [mm]E[\summe_{i=1}{n} X_i][/mm] = [mm]\frac{1}{n}[/mm] * n * E[X]
Am Ende meinst du [mm] $X_1$ [/mm] statt $X$.
> Var[X'] = [mm]Var[\frac{\summe_{i=1}^{n}X_i}{n}][/mm] =
> [mm]\frac{1}{n^2}[/mm] * [mm]Var[\summe_{i=1}{n} X_i][/mm] = [mm]\frac{1}{n^2}[/mm] *
> [mm]\summe_{i=1}{n}Var(X_i)[/mm] = [mm]\frac{1}{n}[/mm] * [mm]Var(X_i)[/mm]
>
> Nun gilt es ja das kleinste n zu finden, für das gilt:
>
> P(|X' - 3,5| < 0,25) [mm]\ge[/mm] 0.6
>
> 0.6 = 1 - [mm]\frac{Var(X')}{0,25^2}[/mm]
>
> Also muss
> [mm]\frac{Var(X')}{0,25^2}[/mm] = 0,4 gelten
>
> Wir schreiben um
> 0,4 * [mm]0.25^2[/mm] = Var(X') = [mm]\frac{1}{n}Var(X_i)[/mm]
> Umformen nach n ergibt:
>
> n = [mm]\frac{Var(X_i)}{0,4 * 0.25^2}[/mm] => n = 116 (ohne
> Nachkommastellen)
Die Interpretation des Ergebnisses stimmt noch nicht ganz; sie sollte lauten: Für [mm] $n\ge [/mm] 117$ ist die Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung des arithmetischen Mittels um weniger als 0,25 auf jeden Fall mindestens 0,6.
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> Wie oft muss ein Würfel geworfen werden, damit das
> arithmetische Mittel der Augenzahlen mit einer Sicherheit
> von 60 % um weniger als 0,25 vom Erwartungswert (3,5) eines
> Wurfs abweicht?
Hallo starki,
muss das mit Tschebyscheff gemacht werden ?
Ich vermute, dass man mittels Approximation
durch eine Normalverteilung eine deutlich
bessere Abschätzung erhalten könnte.
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 So 22.09.2013 | | Autor: | starki |
Naja ... es ist nicht gegeben, ob jetzt nun Tschebyscheff angewendet werden soll oder nicht.
In unserer Vorlesung haben wir eine ähnliche Aufgabe gehabt und die sollte mit Tschebyscheff angewendet werden. Ich wollte mit der Aufgabe weiter Tschebyscheff üben, da ich mir bei dem Thema noch nicht sicher bin.
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Hallo,
Tobias hatte von einer Computersimulation gesprochen.
Eine solche habe ich nun realisiert. Dabei zeigte sich,
dass die nach der Normalverteilungsmethode gefundene
Lösung, nämlich [mm] n_{min}=34 [/mm] , auch wirklich exakt sein dürfte.
Ich habe mit n=33 und mit n=34 je eine halbe Million
Wurfserien simuliert. Für die W'keit, dass die Abweichung
der mittleren Augenzahl von deren Erwartungswert 3.5
kleiner als 0.25 ist, ergab sich:
mit n=33: P [mm] \approx [/mm] 0.582 < 0.6
mit n=34: P [mm] \approx [/mm] 0.606 > 0.6
Die Abschätzung mittels Normalverteilung ist also
offenbar nicht nur viel besser als die nach Tschebyscheff,
sondern wirklich sehr gut !
Tschebyscheff dürfte eher für theoretische Erwägungen
nützlich sein, insbesondere für solche Fälle, wo man
keineswegs von einer Approximation durch eine
Normalverteilung ausgehen darf.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 So 22.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Danke für deine Mühe!
> Tobias hatte von einer Computersimulation gesprochen.
Ich meinte eigentlich eine exakte Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Würfelsummen.
Mir erscheint übrigens alles andere als klar, dass die Zuordnung
[mm] $n\mapsto$Wahrscheinlichkeit, [/mm] dass bei $n$ Würfen die Abweichung des arithmetischen Mittels der Augenzahlen von $3,5$ kleiner als 0,25 ist
monoton wachsend ist.
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> Danke für deine Mühe!
>
> > Tobias hatte von einer Computersimulation gesprochen.
> Ich meinte eigentlich eine exakte Berechnung der
> Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Würfelsummen.
Aha, da habe ich dich nicht genau verstanden - allerdings,
wenn ich es recht besehe, gehörst du wohl ohnehin nicht zu
den Hardcore-Monte-Carlo-Simulations-Fans ... 
> Mir erscheint übrigens alles andere als klar, dass die
> Zuordnung
>
> [mm]n\mapsto[/mm]Wahrscheinlichkeit, dass bei [mm]n[/mm] Würfen die
> Abweichung des arithmetischen Mittels der Augenzahlen von
> [mm]3,5[/mm] kleiner als 0,25 ist
>
> monoton wachsend ist.
"alles andere als klar ?" ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Naja, würdest du da wirklich einen vollständigen
Beweis erwarten und dem vielleicht ein bisschen
naiven, aber gesunden Menschenverstand in
diesem (nach meiner Einschätzung doch recht
simplen) Fall misstrauen ?
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 So 22.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Habe jetzt mit Excel ein paar Wahrscheinlichkeiten (für $n=31$ bis $n=36$) ermittelt.
Tatsächlich scheint $n=34$ als niedrigste natürliche Zahl eine Wahrscheinlichkeit [mm] $\ge0,6$ [/mm] zu liefern.
Allerdings lautet die Wahrscheinlichkeit für $n=36$ wieder gerundet $0,59<0,6$.
Der "gesunde Menschenverstand", der Monotonie der Abbildung suggerierte, war also falsch.
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> Habe jetzt mit Excel ein paar Wahrscheinlichkeiten (für
> [mm]n=31[/mm] bis [mm]n=36[/mm]) ermittelt.
>
> Tatsächlich scheint [mm]n=34[/mm] als niedrigste natürliche Zahl
> eine Wahrscheinlichkeit [mm]\ge0,6[/mm] zu liefern.
>
> Allerdings lautet die Wahrscheinlichkeit für [mm]n=36[/mm] wieder
> gerundet [mm]0,59<0,6[/mm].
>
> Der "gesunde Menschenverstand", der Monotonie der Abbildung
> suggerierte, war also falsch.
Hallo Tobias,
Da kann ich nur sagen: "stréindsch !"
Da bin ich offenbar bös dreingelaufen - und meine Naivität
scheint hieb- und stichfest erwiesen ...
Mir bleibt jetzt aber trotzdem noch das Rätsel, woran
genau dieses zumindest auf den ersten Blick sonderbare
Verhalten der betrachteten Folge liegt ...
Aber liefere bitte nicht gleich eine Antwort, denn ich
möchte diese Nuss wenn möglich selber knacken !
Ich habe mein Programm nochmals angeworfen, um die
Folge der Wahrscheinlichkeiten graphisch darzustellen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zur Erinnerung: dargestellt ist die Folge [mm] [/mm] mit
$\ [mm] p_n\ [/mm] =\ [mm] P\left(3.25<\frac{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}a_i<3.75\right)$
[/mm]
Dabei sind [mm] a_1, a_2, [/mm] ... , [mm] a_n [/mm] die in n Würfen erzielten
Augenzahlen eines normalen Spielwürfels.
Die waagrechte blaue Linie in der Graphik stellt die Schranke
p = 0.6 dar, um welche es in der Originalaufgabe ging.
Tschüss !
Al
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Mir bleibt jetzt aber trotzdem noch das Rätsel, woran
> genau dieses zumindest auf den ersten Blick sonderbare
> Verhalten der betrachteten Folge liegt ...
> Aber liefere bitte nicht gleich eine Antwort, denn ich
> möchte diese Nuss wenn möglich selber knacken !
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Zur Erinnerung: dargestellt ist die Folge [mm][/mm] mit
>
> [mm]\ p_n\ =\ P\left(3.25<\frac{1}{n}*\summe_{i=1}^{n}a_i<3.75\right)[/mm]
Ich habe nun für ein paar kleine n die Wahr-
scheinlichkeiten ohne Computereinsatz exakt
berechnet und dabei den Grund für das eigen-
artig erscheinende Phänomen eruiert.
Nachträglich erscheint es auch einleuchtend.
Es liegt daran, dass die Zahlen, die ein Würfel
liefert, diskrete ganze Zahlen sind. So kann z.B.
das arithmetische Mittel von n gewürfelten Zahlen
nur dann exakt gleich dem Erwartungswert 3.5
(also mit Abweichung 0) sein, wenn n gerade ist.
In diesem Fall liegt also tendenziell ein höherer
Anteil solcher arithmetischen Mittel in einem
bestimmten engen Intervall um 3.5 herum, als
wenn n ungerade wäre.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:06 Mo 23.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe mein Programm nochmals angeworfen, um die
> Folge der Wahrscheinlichkeiten graphisch darzustellen.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Danke für die große Mühe, die du dir da gemacht hast!
Ich versuche jetzt mal eine Plausibilitätsbetrachtung, warum in dem graphisch dargestellten Anfangsabschnitt der Abbildung gerade jeder vierte Wert "nach unten geht":
Sei [mm] $n\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] beliebig. Seien [mm] $k,l\in\IN_0$ [/mm] mit $n=4*k+l$ und [mm] $l\in\{0,1,2,3\}$. [/mm] Dann gilt mit deinen Bezeichnungen:
$ \ [mm] p_n\ [/mm] =\ [mm] P\left(3.25<\frac{1}{n}\cdot{}\summe_{i=1}^{n}a_i<3.75\right) =P\left(\underbrace{n*3,25}_{\substack{=3n+0,25n\\=3n+k+0,25l}}<\summe_{i=1}^na_i<\underbrace{n*3,75}_{\substack{=3n+0,75n\\=3n+3k+0,75l}}\right)=P\left(u\le\summe_{i=1}^na_i\le o\right)=P\left(\bruch{u}{n}\le\bruch1n\summe_{i=1}^na_i\le\bruch{o}{n}\right)$,
[/mm]
wobei $u$ die kleinste natürliche Zahl $>3n+k+0,25l$ und $o$ die größte natürliche Zahl $<3n+3k+0,75l$ sei.
Also
[mm] $u=3n+k+1=3n+\bruch{n-l}{4}+1=(3,25+\bruch{1}{n}(1-\bruch{l}{4}))*n$
[/mm]
und
[mm] $o=3n+3k-1+l=3n+3*\bruch{n-l}{4}-1+l=3,75n+\bruch34l-1=(3,75-\bruch1n(1-\bruch{3}{4}l))*n$.
[/mm]
Somit lautet die "Intervallbreite" [mm] $\bruch{o}{n}-\bruch{u}{n}$ [/mm] gerade
[mm] $(3,75-\bruch1n(1-\bruch{3}{4}l))-(3,25+\bruch{1}{n}(1-\bruch{l}{4}))=0,5-\bruch2n+\bruch{l}{n}.
[/mm]
(Ich hoffe, ich habe mich nirgendwo verrechnet... )
Also macht die "genommene Intervallbreite" immer "von $l=3$ nach $l=0$" einen Sprung nach unten. Das spiegelt sich offenbar (zumindest für kleine $n$) in den Wahrscheinlichkeiten wider.
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Guten Tag Tobias !
> > Ich habe mein Programm nochmals angeworfen, um die
> > Folge der Wahrscheinlichkeiten graphisch darzustellen.
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> Danke für die große Mühe, die du dir da gemacht hast!
(... es geht, aber jetzt erst Du ... ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") )
> Ich versuche jetzt mal eine Plausibilitätsbetrachtung,
> warum in dem graphisch dargestellten Anfangsabschnitt der
> Abbildung gerade jeder vierte Wert "nach unten geht":
Darüber habe ich mich natürlich auch noch gewundert !
> Sei [mm]n\in\IN\setminus\{0\}[/mm] beliebig. Seien [mm]k,l\in\IN_0[/mm] mit
> [mm]n=4*k+l[/mm] und [mm]l\in\{0,1,2,3\}[/mm]. Dann gilt mit deinen
> Bezeichnungen:
>
> [mm]\ p_n\ =\ P\left(3.25<\frac{1}{n}\cdot{}\summe_{i=1}^{n}a_i<3.75\right) =P\left(\underbrace{n*3,25}_{\substack{=3n+0,25n\\=3n+k+0,25l}}<\summe_{i=1}^na_i<\underbrace{n*3,75}_{\substack{=3n+0,75n\\=3n+3k+0,75l}}\right)=P\left(u\le\summe_{i=1}^na_i\le o\right)=P\left(\bruch{u}{n}\le\bruch1n\summe_{i=1}^na_i\le\bruch{o}{n}\right)[/mm],
>
> wobei [mm]u[/mm] die kleinste natürliche Zahl [mm]>3n+k+0,25l[/mm] und [mm]o[/mm] die
> größte natürliche Zahl [mm]<3n+3k+0,75l[/mm] sei.
>
> Also
>
> [mm]u=3n+k+1=3n+\bruch{n-l}{4}+1=(3,25+\bruch{1}{n}(1-\bruch{l}{4}))*n[/mm]
>
> und
>
> [mm]o=3n+3k-1+l=3n+3*\bruch{n-l}{4}-1+l=3,75n+\bruch34l-1=(3,75-\bruch1n(1-\bruch{3}{4}l))*n[/mm].
>
> Somit lautet die "Intervallbreite"
> [mm]\bruch{o}{n}-\bruch{u}{n}[/mm] gerade
>
> [mm]$(3,75-\bruch1n(1-\bruch{3}{4}l))-(3,25+\bruch{1}{n}(1-\bruch{l}{4}))=0,5+\bruch{l}{n}.[/mm]
>
> (Ich hoffe, ich habe mich nirgendwo verrechnet... )
>
> Also macht die "genommene Intervallbreite" immer "von [mm]l=3[/mm]
> nach [mm]l=0[/mm]" einen Sprung nach unten. Das spiegelt sich
> offenbar (zumindest für kleine [mm]n[/mm]) in den
> Wahrscheinlichkeiten wider.
Bliebe noch die Frage, ob dieses Zickzack-Verhalten auch
ein Ende hat, und wenn ja, wo ?
Schönen Montag wünscht Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:26 Mo 23.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Bliebe noch die Frage, ob dieses Zickzack-Verhalten auch
> ein Ende hat, und wenn ja, wo ?
Vielleicht gibt deine Normalverteilungsapproximation angewandt auf die von mir ermittelten Grenzen [mm] $\bruch{u}{n}$ [/mm] und [mm] $\bruch{o}{n}$ [/mm] (oder mit Stetigkeitskorrektur: [mm] $\bruch{u-0,5}{n}$ [/mm] und [mm] $\bruch{o+0,5}{n}$) [/mm] einen Hinweis darauf?
> Schönen Montag wünscht Al
Dir auch, danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Mo 23.09.2013 | | Autor: | tobit09 |
Ich habe jetzt die entsprechende Normalapproximations-Rechnung mit Stetigkeitskorrektur durchgeführt und komme (vorausgesetzt ich habe mich nicht verrechnet) zu folgendem Ergebnis: Diese Normalapproximation deutet darauf hin, dass das Zickzack-Verhalten immer weiter geht.
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