Tschebyscheff-Polynome, Beweis < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:55 Sa 27.02.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Tschebyscheff-Polynome [mm] T_n(x):=cos(n [/mm] arcccos(x)) für -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1:
Satz:
Sei [mm] \psi \not\in [/mm] [-1,1]. Unter allen Polynomen [mm] p_n [/mm] vom Grad n mit [mm] p_n (\psi)=1 [/mm] minimiert [mm] p_n [/mm] = [mm] \frac{T_n}{T_n (\psi)} [/mm] die Maximumsnorm [mm] ||p_n||_{[-1,1]} [/mm] über [-1,1]. |
1) Ich komme mit dem Beweis nicht zurrecht!
Angenommen sei [mm] p_n [/mm] ein Polynom vom Grad n mit [mm] p_n (\psi)=1 [/mm] und [mm] ||p_n||_{[-1,1]} [/mm] < [mm] ||\frac{T_n}{T_n (\psi)}||_{[-1,1]}
[/mm]
[mm] T_n [/mm] nimmt an [mm] x_k= cos(\frac{k\pi}{n}) \in [/mm] [-1,1] für k=0,..,n seine Extrema an da [mm] T_n (x_k)= [/mm] cos( k [mm] \pi)= \pm [/mm] 1
[mm] \frac{T_n}{T_n (\psi)}(x_k) [/mm] = [mm] \pm \frac{1}{T_n (\psi)}
[/mm]
Nach annahme an [mm] p_n [/mm] muss insbesondere [mm] |p_n(x_k)| [/mm] < [mm] |\pm \frac{1}{T_n (\psi)}| \forall [/mm] k [mm] \in \{0,..n\}
[/mm]
Wie argumentiert man nun, dass [mm] (\frac{T_n}{T_n (\psi)} [/mm] - [mm] p_n) [/mm] (x) n+1 Nullstellen hat? Eine Nullstelle bei [mm] \psi [/mm] ist klar.
Aber wie sieht man die n Vorzeichen wechsel? Ich weiß doch alles nur betrgasmäßig bei der Maximumsnorm?
Frage 2)
Wie ist es möglich [mm] T_n (\psi) [/mm] zu schreiben, wenn die Tschebyscheff-Polynome da gar nicht definiert wurden? Wird das fortgesetzt? Wie genau kann ich mir da eine korrekte Fortesetzung definieren?
Liebe Grüße,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Sa 27.02.2016 | | Autor: | hippias |
Zu 2) Darüber habe ich mich auch gewundert. Aber wenn man eingesehen hat, dass [mm] $T_{n}$ [/mm] auf $[-1,1]$ eine Polynomfunktion ist, dann ist dies Polynom eindeutig bestimmt und seine Definitionsmenge ist natürlich ganz [mm] $\IR$: [/mm] voila, eine Fortsetzung!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:16 So 28.02.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ja das scheint logisch zu sein, denn [mm] T_0(x)=1, T_1(x)=x [/mm] und [mm] T_n [/mm] erfüllt die Rekursion [mm] T_{n+1} [/mm] (x)= 2 x [mm] T_n [/mm] (x) - [mm] T_{n-1} [/mm] (x), n=1,2,3,..., und somit ist [mm] T_n [/mm] ein Polynom vom Grad n. Als solches ist es für alle x [mm] \in \mathbb{R} [/mm] wohldefiniert.
Kannst du mir bei dem Beweis der Aussage nocht weiterhelfen?
Die Idee ist es zu zeigen, dass [mm] (\frac{T_n}{T_n (\psi)} [/mm] - [mm] p_n) [/mm] n+1Nullstellen hat - was im Widerspruch dazu steht, dass dieses Polynom n-Ten Grades hat. [mm] \psi [/mm] als Nullstelle konnte ich identifizieren- fehlen die anderen n Stück.
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Di 01.03.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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