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Hallo,
ich fürchte, ich muss eine ziemlich triviale Frage stellen: Es sei $X$ ein topologischer Raum, [mm] $Y\subseteq [/mm] X$ und [mm] $O\subseteq\overline{Y}$ [/mm] sei offen in [mm] $\overline{Y}$ [/mm] aufgefasst als Teilraum von $X$. Angenommen, [mm] $O\cap [/mm] Y$ ist leer, ist dann bereits $O$ leer?
Ich muss mich momentan mit diesen grundlegenden Fragen der elementlastigen und für mich unintuitiven Topologie im Rahmen von Fragen der Zariski-Topologie beschäftigen, so komme ich auf diese Frage.
Liebe Grüße und Vielen Dank,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Mo 04.05.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo UniversellesObjekt!
> Es sei [mm]X[/mm] ein topologischer Raum, [mm]Y\subseteq X[/mm] und
> [mm]O\subseteq\overline{Y}[/mm] sei offen in [mm]\overline{Y}[/mm] aufgefasst
> als Teilraum von [mm]X[/mm]. Angenommen, [mm]O\cap Y[/mm] ist leer, ist dann
> bereits [mm]O[/mm] leer?
Ja.
Angenommen [mm] $x\in [/mm] O$.
1. Schritt: Nachweis von [mm] $x\in\partial [/mm] Y:=$Rand von $Y$
Wegen [mm] $x\in [/mm] O$, aber [mm] $x\notin\emptyset=O\cap [/mm] Y$ gilt [mm] $x\notin [/mm] Y$.
Aber es gilt [mm] $x\in O\subseteq\overline{Y}=Y\cup\partial [/mm] Y$, also [mm] $x\in Y\cup\partial [/mm] Y$.
Zusammengenommen erhalten wir [mm] $x\in\partial [/mm] Y$.
2. Schritt: Konstruktion eines Elementes [mm] $y\in O\cap [/mm] Y$
Da O offen in [mm] $\overline{Y}$ [/mm] ist, existiert eine offene Menge O' in X mit [mm] $O=O'\cap\overline{Y}$.
[/mm]
Wegen [mm] $x\in O=O'\cap\overline{Y}\subseteq [/mm] O'$ ist O' (in X) eine offene Umgebung von x.
Wegen [mm] $x\in\partial [/mm] Y$ existiert somit nach Definition von [mm] $\partial [/mm] Y$ ein [mm] $y\in O'\cap [/mm] Y$.
Also [mm] $y\in O'\cap Y=O'\cap(\overline{Y}\cap Y))=(O'\cap\overline{Y})\cap Y=O\cap [/mm] Y$.
Damit erhalten wir einen Widerspruch zu [mm] $O\cap Y=\emptyset$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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