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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Mi 16.02.2011 | | Autor: | sardelka |
Hallo,
ich komme mit diesen zwei Begriffen nicht klar.
Ist es richtig, dass wenn sich als [mm] a_{1} \vec{v_{1}} [/mm] + [mm] a_{2} \vec{a_{1}} [/mm] + .. + [mm] a_{n} \vec{v_{n}} [/mm] = 0 darstellen lässt, dann ist es eine triviale Darstellung = eine eindeutige Darstellung. Und die Vektoren sind linear unabhängig.
Und wenn es mit linear abhängigen Vektoren sich darstellen lässt, dann ist es [mm] \vec{0} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{l} \vec{v_{k}}, [/mm] nicht-triviale Darstellung.
Was ist richtig, was ist falsch?
Vielen Dank
MfG
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Hi,
> Ist es richtig, dass wenn sich als [mm]a_{1} \vec{v_{1}}[/mm] +
> [mm]a_{2} \vec{v_{2}}[/mm] + .. + [mm]a_{n} \vec{v_{n}}[/mm] = 0 darstellen
> lässt, dann ist es eine triviale Darstellung = eine
> eindeutige Darstellung. Und die Vektoren sind linear
> unabhängig.
Den Nullvektor kann man aus linear unabhängigen Vektoren nur auf die von dir beschriebene triviale Weise darstellen: Alle Skalare sind Null.
>
> Und wenn es mit linear abhängigen Vektoren sich darstellen
> lässt, dann ist es [mm]\vec{0}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{l} \vec{v_{k}},[/mm]
> nicht-triviale Darstellung.
Das ist schon weniger exakt. Wenn ein System von linear abhängigen Vektoren gegeben ist, so gibt es keine eindeutige Darstellung des Nullvektors aus den Vektoren des linear abhängigen Systems. Die triviale Lösung (siehe oben) bleibt bestehen, aber es existieren noch weitere und diese werden als nichttrivial bezeichnet.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Mi 16.02.2011 | | Autor: | sardelka |
Heißt es, es existieren einmal die triviale Darstellung und zusätzlich einige andere Vektoren, die man einfach einzeln aufzählt?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Mi 16.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hilft ein Beipiel:
Nehmen wir die 3 Vektoren
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ 2 \\ 1} \in \IR^3
[/mm]
Diese sind linear abhängig, denn es gilt:
$1* [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}+1*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+(-1)*\vektor{2 \\ 2 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
Obiges ist also eine nichttriviale Darstellung von [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Neben dieser Darstellung hat man natürlich auch noch die triviale Darstellung:
$0* [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}+0*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}+0*\vektor{2 \\ 2 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Mi 16.02.2011 | | Autor: | sardelka |
Danke sehr, ja es hat sehr geholfen.
Wenn ich aber eine Aufgabe mit lin abh. Vektoren bekomme, und ich soll bestimmen, ob es eine triviale ist oder nicht, kann ich es nicht sagen, weil bei lin. abh. beides möglich ist??
Oder muss ich immer einfach die Linearkombination aufstellen und ob es eine triviale oder nicht-triviale ist dann nicht gefragt, weil es ja beides sein kann?
Das gilt aber nur für die lin. abh. Vektoren, oder nicht? Lin. unabh. lassen sich nur durch eine triviale Darst. darstellen, richtig??
Und zu was gehört eigentlich eindeutig bestimmte Lösung? Ist damit dasselbe wie triviale Darstellung gemeint?
Tut mir Leid für die Quälerei.
MfG
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Hallo sardelka,
> Danke sehr, ja es hat sehr geholfen.
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> Wenn ich aber eine Aufgabe mit lin abh. Vektoren bekomme,
> und ich soll bestimmen, ob es eine triviale ist oder nicht,
> kann ich es nicht sagen, weil bei lin. abh. beides möglich
> ist??
Puh, das ist kraus. Wenn du doch schon vorab weißt, dass die Vektoren lin. abh. sind, so weißt du schon, dass es neben der trivialen Darstellung auch eine nicht-triviale gibt.
Wie die letztlich aussieht, kannst du dann berechnen ...
> Oder muss ich immer einfach die Linearkombination
> aufstellen
Ja!
> und ob es eine triviale oder nicht-triviale ist
> dann nicht gefragt, weil es ja beides sein kann?
> Das gilt aber nur für die lin. abh. Vektoren, oder nicht?
> Lin. unabh. lassen sich nur durch eine triviale Darst.
> darstellen, richtig??
>
> Und zu was gehört eigentlich eindeutig bestimmte Lösung?
> Ist damit dasselbe wie triviale Darstellung gemeint?
Puh, wahrlich durcheinander foruliert 
Nochmal:
Du hast irgendeine Menge von Vektoren [mm]\{v_1,...v_n\}[/mm] gegeben und willst entscheiden, ob diese Menge linear unabh. ist oder nicht.
Dazu setzt du die LK des Nullvektors aus all diesen Vektoren an.
Die triviale LK, in der alle Koeffizienten in der LK =0 sind, ist immer eine Lösung.
Das ist ja klar, denn [mm]0\cdot{}\vec v_1+0\cdot{}\vec v_2+...+0\cdot{}\vec v_n=\vec 0[/mm]
Wenn es aber nur diese triviale Lösung gibt, so nennt man die Vektoren linear unabh.
Gibt es neben der trivialen Lösung eine andere (wo mindestens einer der Koeffizienten in der LK [mm]\neq 0[/mm] ist), so nennt man die Vektoren linear abh.
Die LK ist ja nichts anderes als ein homogenes LGS.
Das ist immer lösbar durch die triviale Lösung.
Wenn es also eindeutig lösbar ist, so ist die triviale Lösung die einzige Lsg. und du hast lin. Unabh.
Gibt's keine eind. Lösung, so hast du lin. Abh.
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> Tut mir Leid für die Quälerei.
>
> MfG
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Mi 16.02.2011 | | Autor: | sardelka |
Jippieee ich hab´s verstanden. VIELEN VIELEN DANK!
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