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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Sa 29.05.2010 | | Autor: | Marie_ |
| Aufgabe | Funktion f: [mm] \IR \to \IC [/mm] ist [mm] 2\pi [/mm] - periodisch und riemannintegrierbar auf [mm] [-\pi,\pi].
[/mm]
Wahr oder falsch?
1. Ein trigonometrisches Polynom ist ebenso ein (gewöhnliches) Polynom.
2. Ein trigonometrisches Polynom kann auf ganz [mm] \IR [/mm] in eine Potenzreihe um 0 entwickelt werden.
3. Die Monome [mm] (x_n [/mm] : [-1,1] [mm] \to \IR)_{n\in \IN \cup { 0 } } [/mm] bilden ein Orthonormalsystem.
4. Es existiert ein ein f wie oben, dessen Fourierreihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] sin(nx) ist.
5. Konvergiert die Fourierreihe von f auf ganz [mm] \IR [/mm] gegen f, so kann f auf [mm] ]-\pi; \pi[ [/mm] in eine Potenzreihe um 0 entwickelt werden. |
Hi,
ich habe bei der Aufgabe noch Klärungsbedarf.
Meine bisherigen Überlegungen:
1. FALSCH, da sich z.B. f(x) = sin(x) nicht als f(x) = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] a_2 x^2 [/mm] ... schreiben lässt.
2. Ich vermute, dass es WAHR ist. Warum?
3. FALSCH, da nach Anwendung der mir vorliegenden Definition [mm] \integral_{-1}^{1}{|x^n| dx} [/mm] = 1 sein müsste, das ist z.B. für [mm] x^2 [/mm] nicht der Fall
4. Da kann ich leider keine Funktion angeben.
5. ???
Ich danke allen, für Eure Hilfe!
Liebe Grüße
Marie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 So 30.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marie!
> Funktion f: [mm]\IR \to \IC[/mm] ist [mm]2\pi[/mm] - periodisch und
> riemannintegrierbar auf [mm][-\pi,\pi].[/mm]
> Wahr oder falsch?
>
> 1. Ein trigonometrisches Polynom ist ebenso ein
> (gewöhnliches) Polynom.
> 2. Ein trigonometrisches Polynom kann auf ganz [mm]\IR[/mm] in eine
> Potenzreihe um 0 entwickelt werden.
> 3. Die Monome [mm](x_n : [-1,1] \to \IR)_{n\in \IN \cup \{ 0 \} }[/mm]
> bilden ein Orthonormalsystem.
> 4. Es existiert ein ein f wie oben, dessen Fourierreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] sin(nx) ist.
> 5. Konvergiert die Fourierreihe von f auf ganz [mm]\IR[/mm] gegen
> f, so kann f auf [mm]]-\pi; \pi[[/mm] in eine Potenzreihe um 0
> entwickelt werden.
> Hi,
>
> ich habe bei der Aufgabe noch Klärungsbedarf.
>
> Meine bisherigen Überlegungen:
>
> 1. FALSCH, da sich z.B. f(x) = sin(x) nicht als [mm]f(x) = [mm]a_0 + a_1 x + a_2 x^2[/mm] ... schreiben lässt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Ich vermute, dass es WAHR ist. Warum?
Tipp: Sowohl Sinus als auch Cosinus können auf ganz [mm]\IR[/mm] in eine Potenzreihe um 0 entwickelt werden. Was gilt für Summen und Produkte von Potenzreihen?
> 3. FALSCH, da nach Anwendung der mir vorliegenden
> Definition [mm]\integral_{-1}^{1}{|x^n| dx}[/mm] = 1 sein müsste,
> das ist z.B. für [mm]x^2[/mm] nicht der Fall
> 4. Da kann ich leider keine Funktion angeben.
Tipp: Parsevalsche Gleichung: Wenn [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] die Fourierkoeffizienten den Funktion f sind, welches ist die Beziehung zwischen
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) [/mm] und [mm] \integral_{-\pi}^{+\pi} (f(x))^2 dx [/mm] ?
> 5. ???
Tipp: Eine konvergente Potenzreihe ist stetig und beliebig oft differenzierbar. Damit f in eine Potenzreihe entwickelt werden kann, so muss f in [mm] $[-\pi,+\pi$ [/mm] stetig und differenzierbar sein.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 So 30.05.2010 | | Autor: | Marie_ |
Hi,
danke Rainer für die Hinweise!
Soweit ich es durch deine Tipps nachvollziehen konnte, ist dann 2. RICHTIG und 5. RICHTIG. Korrekt?
Zu 3. & 4.: Leider war die Parsevalsche Gleichung bisher noch nicht Inhalt meiner Lehrversanstaltung.
3. habe ich mittels meiner Definition eines Orthogonalsystems gelöst und bin darauf gekommen, dass die Aussage FALSCH ist. Korrekt? Leider komme ich bei Teil 4. noch immer nicht vorwärts...
Vielen Dank für die Gedult!
Liebe Grüße
Marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:21 Di 01.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marie!
> Hi,
>
> danke Rainer für die Hinweise!
>
> Soweit ich es durch deine Tipps nachvollziehen konnte, ist
> dann 2. RICHTIG und 5. RICHTIG. Korrekt?
>
> Zu 3. & 4.: Leider war die Parsevalsche Gleichung bisher
> noch nicht Inhalt meiner Lehrversanstaltung.
> 3. habe ich mittels meiner Definition eines
> Orthogonalsystems gelöst und bin darauf gekommen, dass die
> Aussage FALSCH ist. Korrekt? Leider komme ich bei Teil 4.
> noch immer nicht vorwärts...
Schau dir die Reihe [mm] $\summe \sin(n [/mm] x) $ genauer an: Zwei Dinge fallen auf:
1. Was passiert, wenn x von der Form [mm] $r*\pi/2$, $r\in\IQ$, [/mm] ist?
2. Die Funktion f muss ungerade sein, weil keine Cosinusterme vorkommen, und alle Fourierkoeffizienten für Sinus sind 1, also
[mm] \integral_{-\pi}^{+\pi} f(x) \sin(nx) dx = \pi [/mm] für alle [mm] $n\in \IN$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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