Trigonometrische Gleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Mo 21.02.2011 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimme alle Lösungen von
a) sin(2x+1) = 3
Hat das überhaupt eine Lösung?
nehmen wir ersatzweise sin(2x+1) = 0,7
b) cos(5x+7) = 0,8
c) 4*sin(x- [mm] 2\pi) [/mm] = 3,5 |
Moin, moin,
wie löse ich die genannten Gleichungen?
Bitte OHNE Ableitungen (Oberstufe)!
zu a)
Da weiß ich schon nicht, wie ich da vorgehen soll.
Ich meine mich zu erinnern, dass die Periodenlänge von sin(bx)
p = [mm] \bruch{2\pi}{b} [/mm] ist.
Ich könnte natürlich die Gleichung mit arcsin verknüpfen, weißaber nicht ob mich das weiterbringt...?
sin(2x+1) = 0,7 arcsin
2x + 1 = 0,7754
x = -0,1123
Falls das soweit ok ist, wie finde ich jetzt die anderen Lösungen?
Da die Periodenlänge hier nicht 2 [mm] \pi [/mm] ist... müsste ich das nicht auch bei der Lösung der Aufgabe berücksichtigen?
b) entsprechend
cos(5x +7) = 0,8 arccos
5x+7 = 0,6435
x = -1,2713
?
Oder muss ich anders vorgehen?
Danke für eure Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Mo 21.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme alle Lösungen von
>
> a) sin(2x+1) = 3
>
> Hat das überhaupt eine Lösung?
>
> nehmen wir ersatzweise sin(2x+1) = 0,7
>
>
>
> b) cos(5x+7) = 0,8
>
> c) 4*sin(x- [mm]2\pi)[/mm] = 3,5
> Moin, moin,
>
> wie löse ich die genannten Gleichungen?
>
> Bitte OHNE Ableitungen (Oberstufe)!
>
>
> zu a)
>
> Da weiß ich schon nicht, wie ich da vorgehen soll.
>
> Ich meine mich zu erinnern, dass die Periodenlänge von
> sin(bx)
>
> p = [mm]\bruch{2\pi}{b}[/mm] ist.
>
>
> Ich könnte natürlich die Gleichung mit arcsin
> verknüpfen, weißaber nicht ob mich das weiterbringt...?
>
> sin(2x+1) = 0,7 arcsin
>
> 2x + 1 = 0,7754
>
> x = -0,1123
Stimmt.
>
>
> Falls das soweit ok ist, wie finde ich jetzt die anderen
> Lösungen?
>
Nennen wir die obige Lösung mal [mm] x_0.
[/mm]
Die anderen Lösungen sind dann gegeben durch
[mm] $x_k=2x_0+1+2k \pi$ [/mm] ($k [mm] \in \IZ$)
[/mm]
FRED
> Da die Periodenlänge hier nicht 2 [mm]\pi[/mm] ist... müsste ich
> das nicht auch bei der Lösung der Aufgabe
> berücksichtigen?
>
>
>
> b) entsprechend
> cos(5x +7) = 0,8 arccos
>
> 5x+7 = 0,6435
>
> x = -1,2713
>
>
> ?
>
>
>
> Oder muss ich anders vorgehen?
>
> Danke für eure Hilfe!
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Mo 21.02.2011 | | Autor: | hase-hh |
> > zu a)
> >
> > Da weiß ich schon nicht, wie ich da vorgehen soll.
> >
> > Ich meine mich zu erinnern, dass die Periodenlänge von
> > sin(bx)
> >
> > p = [mm]\bruch{2\pi}{b}[/mm] ist.
> >
> >
> > Ich könnte natürlich die Gleichung mit arcsin
> > verknüpfen, weißaber nicht ob mich das weiterbringt...?
> >
> > sin(2x+1) = 0,7 arcsin
> >
> > 2x + 1 = 0,7754
> >
> > x = -0,1123
>
>
> Stimmt.
> >
> >
> > Falls das soweit ok ist, wie finde ich jetzt die anderen
> > Lösungen?
> >
>
> Nennen wir die obige Lösung mal [mm]x_0.[/mm]
>
> Die anderen Lösungen sind dann gegeben durch
>
> [mm]x_k=2x_0+1+2k \pi[/mm] ([mm]k \in \IZ[/mm])
>
>
> FRED
Moin Fred,
wie kommt man auf [mm] x_k [/mm] = [mm] 2x_0 [/mm] +1 + [mm] 2k\pi [/mm] ?
Ok, normalerweise ist [mm] 2k\pi [/mm] die Periodenlänge, also habe ich dann weitere Lösungen bei [mm] k*2\pi. [/mm]
Aber hier ist doch die Periodenlänge p = [mm] \bruch{2\pi}{2} [/mm] = [mm] \pi
[/mm]
Daraus würde ich folgern [mm] x_k [/mm] = .... + [mm] k*\pi [/mm] ?
Wie kommt man auf [mm] 2*x_0 [/mm] + 1 ?
Habe ich damit dann auch wirklich alle Basislösungen?
(Zweifel)
> > Da die Periodenlänge hier nicht 2 [mm]\pi[/mm] ist... müsste ich
> > das nicht auch bei der Lösung der Aufgabe
> > berücksichtigen?
> >
> >
> >
> > b) entsprechend
> > cos(5x +7) = 0,8 arccos
> >
> > 5x+7 = 0,6435
> >
> > x = -1,2713
Das würde bedeuten:
[mm] x_k [/mm] = 2*(-1,2713) +1 + [mm] k*\bruch{2\pi}{5}
[/mm]
Oder nicht?
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Fred meinte [mm] x_0 [/mm] ist nur eine Lösung zu dem Wert auf der rechten Seite 0.7, z.B. in Deinem Fall a). Wenn man insgesamt 2*x + 1 als Argument von Sinus nimmt mit:
x = -0,1123 , ergibt sich 0.7.
Dann ist ja sin Funktion 2*Pi periodisch, also nimmst Du zu Deinem Argument 2*x+1 + 2*Pi dazu, ergibt sich wieder 0.7
Das gilt dann für alle sin(2*x+1 + [mm] 2*k*\Pi) [/mm] so...deswegen gilt das. Dann kann man sagen
die Lösung von [mm] sin(x_k) [/mm] = 0.7 ist [mm] x_k=x_0 [/mm] + [mm] 2*k*\Pi [/mm] für [mm] k\in \mathbb{Z}
[/mm]
> > > zu a)
> > >
> > > Da weiß ich schon nicht, wie ich da vorgehen soll.
> > >
> > > Ich meine mich zu erinnern, dass die Periodenlänge von
> > > sin(bx)
> > >
> > > p = [mm]\bruch{2\pi}{b}[/mm] ist.
> > >
> > >
> > > Ich könnte natürlich die Gleichung mit arcsin
> > > verknüpfen, weißaber nicht ob mich das weiterbringt...?
> > >
> > > sin(2x+1) = 0,7 arcsin
> > >
> > > 2x + 1 = 0,7754
> > >
> > > x = -0,1123
> >
> >
> > Stimmt.
> > >
> > >
> > > Falls das soweit ok ist, wie finde ich jetzt die anderen
> > > Lösungen?
> > >
> >
> > Nennen wir die obige Lösung mal [mm]x_0.[/mm]
> >
> > Die anderen Lösungen sind dann gegeben durch
> >
> > [mm]x_k=2x_0+1+2k \pi[/mm] ([mm]k \in \IZ[/mm])
> >
> >
> > FRED
>
> Moin Fred,
>
> wie kommt man auf [mm]x_k[/mm] = [mm]2x_0[/mm] +1 + [mm]2k\pi[/mm] ?
>
>
> Ok, normalerweise ist [mm]2k\pi[/mm] die Periodenlänge, also habe
> ich dann weitere Lösungen bei [mm]k*2\pi.[/mm]
>
> Aber hier ist doch die Periodenlänge p = [mm]\bruch{2\pi}{2}[/mm] =
> [mm]\pi[/mm]
>
> Daraus würde ich folgern [mm]x_k[/mm] = .... + [mm]k*\pi[/mm] ?
>
> Wie kommt man auf [mm]2*x_0[/mm] + 1 ?
>
> Habe ich damit dann auch wirklich alle Basislösungen?
> (Zweifel)
>
>
> > > Da die Periodenlänge hier nicht 2 [mm]\pi[/mm] ist... müsste ich
> > > das nicht auch bei der Lösung der Aufgabe
> > > berücksichtigen?
> > >
> > >
> > >
> > > b) entsprechend
> > > cos(5x +7) = 0,8 arccos
> > >
> > > 5x+7 = 0,6435
> > >
> > > x = -1,2713
>
> Das würde bedeuten:
>
> [mm]x_k[/mm] = 2*(-1,2713) +1 + [mm]k*\bruch{2\pi}{5}[/mm]
>
>
> Oder nicht?
>
>
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Hallo,
da ist ein Denkfehler, sin und cos sind immer 2 [mm] *\Pi [/mm] periodisch. Also, so macht man es schon richtig mit dem arc sin, arc cos und dann wenn fertig, würde ich sagen, kommt noch 2*k*Pi dazu, für alle k aus der Menge der ganzen Zahlen. Fertig! Fred hat es eben, sah ich gerade sauber formuliert. Das sind alle Lösungen, die man da hat.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mo 21.02.2011 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
nee irgendetwas kann so nicht stimmen.
Wenn die Periodenlänge [mm] 2\pi [/mm] ist, dann gibt es (in den meisten Fällen) zwei Basislösungen im Intervall [mm] [0;2\pi]
[/mm]
Wenn die Periodenlänge z.B. auf die Hälfte verkürzt ist, also auf [mm] \pi, [/mm] dann gibt es mit Sicherheit vier Basislösungen und nicht nur zwei. Weil ja dann zwei Perioden im Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] durchlaufen werden...
Vielleicht hilft ein komplettes Beispiel mit Rechnung zum Nachvollziehen.
Danke & Gruß!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Mo 21.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
sin(blabla)=0.7
[mm] blabla_0=arcsin(0.7)=0.775
[/mm]
[mm] blabla_1=\pi-0,775
[/mm]
[mm] babla_2=0,775+2\pi
[/mm]
[mm] blabla_3=\pi-0,775+2\pi [/mm] usw
dein blabla ist 2x+1 aus [mm] blabla_k [/mm] folgt also [mm] x_k
[/mm]
Gruss leduart
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