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| Aufgabe | Löse die vorgegebene trigonometrische Gleichung. Winkel Alpha = x
3cos²x=sin²2x |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich komme bei dieser Gleichung auf kein richtiges Ergebnis.
Vorgegebenes Ergebnis lautet:
alpha1= 60°,120°,240°,300°
alpha2= 90°+ n*180°
Kann mir jemand weiter helfen?
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> Löse die vorgegebene trigonometrische Gleichung. Winkel
> Alpha = x
>
> 3cos²x=sin²2x
>
> Ich komme bei dieser Gleichung auf kein richtiges
> Ergebnis.
Ich habe keine Ahnung, was Du gerechnet hast, aber ich schlage einfach mal folgenden Weg vor:
[mm]\begin{array}{clcll}
\text{(1)} & 3\cos^2(x) &=& \sin^2(2x) &|\; \sin(2x)\leftarrow 2\sin(x)\cos(x)\\
\text{(2)} & 3\cos^2(x) &=& 4\sin^2(x)\cos^2(x)\\
\multicolumn{4}{l}{\text{1. Fall: $\cos^2(x)=0$, d.h. $\cos(x)=0$}:}\\
\Rightarrow &x &=& 90^\circ+n\cdot 180^\circ, n\in \IZ\\
\multicolumn{4}{l}{\text{2. Fall: $\cos^2(x)\neq 0$ (d.h. dürfen durch $\cos^2(x)$ beidseitig dividieren)}:}\\
\text{(3)} & 3 &=& 4\sin^2(x) &|\; \div 4\\
\text{(4)} &\sin^2(x) &=& \frac{3}{4} &|\; \sqrt{\ldots}\\
&\sin(x) &=& \frac{\sqrt{3}}{2} &|\; \sin^{-1}\\
\Rightarrow & x &=& \begin{cases}60^\circ+n\cdot 360^\circ\\
180^\circ-60^\circ+n\cdot 360^\circ\end{cases}, n\in \IZ
\end{array}[/mm]
Dies sind im wesentlichen die unten angegebenen Lösungen. Wo genau Dein Problem lag, musst Du nun halt selbst herausfinden...
> Vorgegebenes Ergebnis lautet:
> alpha1= 60°,120°,240°,300°
Dies ist ein Teil der Lösungen des oben angegebenen 2. Falles. Da fehlen doch wohl einige Lösungen (die Funktionen [mm] $\sin, \cos$ [/mm] sind ja [mm] $360^\circ$-periodisch).
[/mm]
> alpha2= 90°+ n*180°
Dies sind oben die Lösungen des 1. Falles.
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