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Hallo,
folgende Funktion soll auf Kurvenpunkte mit waagerechter Tangente untersucht werden:
y=sin(x)*cos(x)
Nach Ableitung habe ich:
y=cos(2x)
Gleich null setzen und nach x auflösen ergibt:
[mm] x=\bruch{arccos(0)}{2}
[/mm]
[mm] x=\bruch{1}{4}\pi
[/mm]
[mm] x_1k=\bruch{1}{4}\pi+k*\pi
[/mm]
In meinem Buch steht, dass es aus symmetrischen Gründen nun noch folgende 2. Lösung gibt:
[mm] x_2k=\bruch{3}{4}pi+k*\pi
[/mm]
Kann ich diese 2. Lösung auch irgendwie rechnerisch ermitteln? Oder ergibt sie sich einfach aus der Charakteristik der Welle...
LG und besten Dank im Voraus...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> folgende Funktion soll auf Kurvenpunkte mit waagerechter
> Tangente untersucht werden:
>
> y=sin(x)*cos(x)
>
> Nach Ableitung habe ich:
>
> y=cos(2x)
>
> Gleich null setzen und nach x auflösen ergibt:
>
> [mm]x=\bruch{arccos(0)}{2}[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{1}{4}\pi[/mm]
>
> [mm]x_1k=\bruch{1}{4}\pi+k*\pi[/mm]
>
> In meinem Buch steht, dass es aus symmetrischen Gründen
> nun noch folgende 2. Lösung gibt:
>
> [mm]x_2k=\bruch{3}{4}pi+k*\pi[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Kann ich diese 2. Lösung auch irgendwie rechnerisch
> ermitteln? Oder ergibt sie sich einfach aus der
> Charakteristik der Welle...
Du musst halt bedenken, dass für $(2x) \in [0,2\pi[$ gilt
$\cos(2x)=0$
$\iff$ $2x=\frac{\pi}{2}$ oder $2x=\frac{3}{2}\pi\,.$
(Beachte: $(2x) \in [0,2\pi[$ $\iff$ $x \in [0,\pi[$ - und der obige Satz wird vielleicht
verständlicher, wenn Du erstmal $z:=2x\,$ substituierst und ihn dann mit
der Variablen $z\,$ formulierst!)
Der $\arccos$ ist halt nur die Umkehrfunktion von
$\cos$ eingeschränkt auf $[0,\,\pi]\,.$ (mögliche Notation für diese eingeschränkte Funktion: $\left.\cos\right|_{[0,\pi]}$)
Für $\sin$ oder auch $\cos$ als Funktion $\IR \to [-1,1]$ gibt es halt keine Umkehrfunktion,
man kann aber (glücklicherweise) jede der beiden Funktionen auf einem
(beidseitig abgeschlossenen) Intervall der Länge $\pi$ umkehren; denn solche
Einschränkungen liefern dann eine bijektive Funktion!
Wozu man sich beim Sinus bzw. Kosinus (meist) entscheidet:
![[]](/images/popup.gif) das kannst Du hier (klick!) bei Wiki nachlesen!
P.S. Ist Dir der Rest klar? Das folgt (grob) so:
1.: [mm] $2*x_{1,k}=\frac{1}{2}\pi+k*2\pi$
[/mm]
2.: [mm] $2*x_{2,k}=\frac{3}{2}\pi+k*2\pi$
[/mm]
jeweils mit $k [mm] \in \IZ\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Mo 09.12.2013 | | Autor: | sonic5000 |
Hallo Marcel,
das muss ich erst mal sacken lassen... Aber danke für die schnelle und ausführliche Antwort...
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sonic,
> Hallo Marcel,
>
> das muss ich erst mal sacken lassen...
leider kann es ein Problem sein, dass in der Schule manchmal nicht so
detailliert auf die "Umkehrbarkeit einer Funktion" eingegangen wird.
Da fliegen anstatt der Begriffe "bijektiv" (oder wenigstens sollte man
"injektiv" verwenden) Begriffe wie "eineindeutig" umher - wobei da sogar
im universitären Bereich dieser Begriff manchmal für injektiv und manchmal
für bijektiv stehen kann...
> Aber danke für die schnelle und ausführliche Antwort...
Frag' gegebenenfalls auch die Begriffe nach, wenn sie Dir unklar sind.
Ansonsten: Gern geschehen!
Gruß,
Marcel
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