Trigonometrische Gleichung < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Di 08.05.2012 | | Autor: | ivan19 |
| Aufgabe | | [mm] \tan(x)^\sin(x) [/mm] = [mm] \cot(x)^\cos(x) [/mm] |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab als Aufgabe diese Gleichung zu lösen. Fand ich auch gar nicht schwirig, ich hab nämlich den Tangens und Cotangens umgeschrieben in Sin/Cos und Cos/Sin und das Ganze dann logarithmiert, hab dann ein bisschen rumgebastelt und kam auf die Lösung [mm] x=\bruch{2*k+1}{4}*\pi [/mm]
Nun hat mich aber mein Professor gefragt woher ich denn so genau wisse dass ich überhaupt den Logarithmus anwenden darf. Darauf wusste ich keine Antwort... Muss ja wohl was mit dem Definitionsbereich zu tun haben... Weiß aber nicht genau worauf er hinauswollte...
Hoffe mir kann da jemand einen Tipp geben. Und ich wär auch froh wenn mir jemand sagen könnte, ob meine Lösung so stimmt oder nicht.
Danke
lg, ivan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Di 08.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch
[mm] tan(x)^{sin(x)}=e^{sin(x)*ln(tan(x))}
[/mm]
Damit muß doch tan(x)>0 sein.
Analog:
[mm] cot(x)^{cos(x)}=e^{cos(x)*ln(cot(x))}.
[/mm]
Also muß auch cot(x)>0 sein.
Nun überlege mal, welche x beides leisten.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Di 08.05.2012 | | Autor: | ivan19 |
ok, dies gilt für alle [mm] x\in(0,\bruch{\pi}{2})\cup(\pi,\bruch{3*\pi}{2})\cup....
[/mm]
wie kann man das verallgemeinern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Di 08.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
am einfachsten ist hier wohl die Angabe eines Laufindex, x liegt zwischen
[mm] k \bruch{\pi}{2} [/mm] und [mm] (k+1) \bruch{\pi}{2} [/mm] mit k = 0, 1, 2, ...
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Di 08.05.2012 | | Autor: | ivan19 |
Ok, dann hab ich also als Definitionsbereich für diese Gleichung
[mm] x\in(k*\bruch{\pi}{2},(k+1)*\bruch{\pi}{2})
[/mm]
Ist das richtig?
Und dann darf ich ohne weiteres logarithmieren?
Durch die Einschränkung des Definitionsbereichs fallen mir ja dann auch Lösungen weg oder? Lieg ich richtig wenn ich sag ich krieg dann die Lösungen
[mm] \bruch{\pi}{4},\bruch{5*\pi}{4},\bruch{9*\pi}{4},...
[/mm]
Wenn ja, wie kann ich das verallgemeinert ausdrücken?
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Hallo ivan19,
> Ok, dann hab ich also als Definitionsbereich für diese
> Gleichung
>
> [mm]x\in(k*\bruch{\pi}{2},(k+1)*\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> Ist das richtig?
>
Das ist nicht ganz richtig, da nach diesem Definitionsbereich
der Tangens positive als auch negative Werte annehmen kann.
Daher muss es richtig lauten:
[mm]x\in(k*\pi,(2k+1)*\bruch{\pi}{2}), \ k \in \IZ[/mm]
> Und dann darf ich ohne weiteres logarithmieren?
>
Ja.
> Durch die Einschränkung des Definitionsbereichs fallen mir
> ja dann auch Lösungen weg oder? Lieg ich richtig wenn ich
Nein, es fallen keine Lösungen weg.
> sag ich krieg dann die Lösungen
> [mm]\bruch{\pi}{4},\bruch{5*\pi}{4},\bruch{9*\pi}{4},...[/mm]
> Wenn ja, wie kann ich das verallgemeinert ausdrücken?
[mm]x_{k}=\bruch{4*k+1}{4}*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Di 08.05.2012 | | Autor: | abakus |
> [mm]\tan(x)^\sin(x)[/mm] = [mm]\cot(x)^\cos(x)[/mm]
>
> Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich hab als Aufgabe diese Gleichung zu lösen. Fand ich
> auch gar nicht schwirig, ich hab nämlich den Tangens und
> Cotangens umgeschrieben in Sin/Cos und Cos/Sin und das
> Ganze dann logarithmiert, hab dann ein bisschen
> rumgebastelt und kam auf die Lösung [mm]x=\bruch{2*k+1}{4}*\pi[/mm]
> Nun hat mich aber mein Professor gefragt woher ich denn so
> genau wisse dass ich überhaupt den Logarithmus anwenden
> darf. Darauf wusste ich keine Antwort... Muss ja wohl was
> mit dem Definitionsbereich zu tun haben... Weiß aber nicht
> genau worauf er hinauswollte...
> Hoffe mir kann da jemand einen Tipp geben. Und ich wär
> auch froh wenn mir jemand sagen könnte, ob meine Lösung
> so stimmt oder nicht.
> Danke
> lg, ivan
Hallo,
dein Weg ist etwas umständlich. Aus [mm]\tan(x)^{\sin(x)} =\cot(x)^\cos(x)[/mm] folgt [mm]\tan(x)^{\sin(x)} =(\tan(x)^{-1})^\cos(x)[/mm], also [mm]\tan(x)^{\sin(x)} =\tan(x)^{-\cos(x)}[/mm].
Da muss man nicht logarithmieren.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Di 08.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> > [mm]\tan(x)^\sin(x)[/mm] = [mm]\cot(x)^\cos(x)[/mm]
> >
> > Hallo!
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> > Ich hab als Aufgabe diese Gleichung zu lösen. Fand ich
> > auch gar nicht schwirig, ich hab nämlich den Tangens und
> > Cotangens umgeschrieben in Sin/Cos und Cos/Sin und das
> > Ganze dann logarithmiert, hab dann ein bisschen
> > rumgebastelt und kam auf die Lösung [mm]x=\bruch{2*k+1}{4}*\pi[/mm]
> > Nun hat mich aber mein Professor gefragt woher ich denn so
> > genau wisse dass ich überhaupt den Logarithmus anwenden
> > darf. Darauf wusste ich keine Antwort... Muss ja wohl was
> > mit dem Definitionsbereich zu tun haben... Weiß aber nicht
> > genau worauf er hinauswollte...
> > Hoffe mir kann da jemand einen Tipp geben. Und ich wär
> > auch froh wenn mir jemand sagen könnte, ob meine Lösung
> > so stimmt oder nicht.
> > Danke
> > lg, ivan
> Hallo,
> dein Weg ist etwas umständlich. Aus [mm]\tan(x)^{\sin(x)} =\cot(x)^\cos(x)[/mm]
> folgt [mm]\tan(x)^{\sin(x)} =(\tan(x)^{-1})^\cos(x)[/mm], also
> [mm]\tan(x)^{\sin(x)} =\tan(x)^{-\cos(x)}[/mm].
> Da muss man nicht
> logarithmieren.
direkt nicht, aber Fred hat schon geschrieben, warum hier implizit der Logarithmus mit drin steckt:
In der Analysis gilt per Definitionem
[mm] $$a^b=e^{b*\ln(a)}\,,$$
[/mm]
für $b [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig und natürlich fordert man dabei $a [mm] >0\,.$
[/mm]
Fred hat gemäß dieser Definition umgeformt!
P.S.
Ich will nur darauf hinaus, dass man den Logarithmus naturalis hier (zumindestens so, wie ich es gelernt habe) immer irgendwo im Spiel hat - auch, wenn er sich manchmal versteckt!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Mi 09.05.2012 | | Autor: | ivan19 |
Super, danke für die Hilfe! Hab jetzt! 
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> > [mm]\tan(x)^\sin(x)[/mm] = [mm]\cot(x)^\cos(x)[/mm]
> Hallo,
> dein Weg ist etwas umständlich. Aus [mm]\tan(x)^{\sin(x)} =\cot(x)^\cos(x)[/mm]
> folgt [mm]\tan(x)^{\sin(x)} =(\tan(x)^{-1})^\cos(x)[/mm], also
> [mm]\tan(x)^{\sin(x)} =\tan(x)^{-\cos(x)}[/mm].
> Da muss man nicht logarithmieren.
Hallo zusammen,
wenn man ausgehend von der Gleichung [mm]\tan(x)^{\sin(x)} =\tan(x)^{-\cos(x)}[/mm]
zur neuen Gleichung
[mm]\sin(x)\ =\ -\cos(x)[/mm]
übergeht, so logarithmiert man in gewissem Sinne schon
auch - nur eben in einer Weise, wo Logarithmen nicht
explizit auftreten.
Nun kommt aber erst die eigentliche Überraschung:
Die neue Gleichung [mm]\sin(x)\ =\ -\cos(x)[/mm] hat zwar
im Grundintervall [0 ... [mm] 2\,\pi] [/mm] zwei Lösungen, nämlich
[mm] \frac{3\,\pi}{4} [/mm] und [mm] \frac{7\,\pi}{4} [/mm] , aber an diesen Stellen ist
der Tangens negativ und damit die zu lösende Gleichung
gar nicht definiert !
Bei den wirklichen Lösungen der Gleichung [mm]tan(x)^{sin(x)}\ =\ cot(x)^{cos(x)}[/mm] ,
nämlich an den Stellen [mm] \frac{\pi}{4} [/mm] und [mm] \frac{5\,\pi}{4} [/mm] , ist aber
die Gleichung [mm]sin(x)\ =\ -cos(x)[/mm] nicht erfüllt ! .
Wie kann dann die Gleichung [mm]tan(x)^{sin(x)}\ =\ cot(x)^{cos(x)}[/mm]
trotzdem erfüllt sein ??
Ganz einfach, weil an diesen Stellen der Tangens den
Wert 1 hat. Da jede reelle Potenz von 1 wieder 1 ergibt,
kommt es dann auf die Werte der Exponenten
(hier sin(x) bzw. -cos(x)) gar nicht an !
Die Gleichung hat's also doch ganz schön in sich !
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Do 10.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > > [mm]\tan(x)^\sin(x)[/mm] = [mm]\cot(x)^\cos(x)[/mm]
>
> > Hallo,
> > dein Weg ist etwas umständlich. Aus [mm]\tan(x)^{\sin(x)} =\cot(x)^\cos(x)[/mm]
> > folgt [mm]\tan(x)^{\sin(x)} =(\tan(x)^{-1})^\cos(x)[/mm], also
> > [mm]\tan(x)^{\sin(x)} =\tan(x)^{-\cos(x)}[/mm].
> > Da muss man
> nicht logarithmieren.
>
>
> Hallo zusammen,
>
> wenn man ausgehend von der Gleichung [mm]\tan(x)^{\sin(x)} =\tan(x)^{-\cos(x)}[/mm]
>
> zur neuen Gleichung
>
> [mm]\sin(x)\ =\ -\cos(x)[/mm]
>
> übergeht, so logarithmiert man in gewissem Sinne schon
> auch - nur eben in einer Weise, wo Logarithmen nicht
> explizit auftreten.
>
> Nun kommt aber erst die eigentliche Überraschung:
> Die neue Gleichung [mm]\sin(x)\ =\ -\cos(x)[/mm] hat zwar
> im Grundintervall [0 ... [mm]2\,\pi][/mm] zwei Lösungen,
> nämlich
> [mm]\frac{3\,\pi}{4}[/mm] und [mm]\frac{7\,\pi}{4}[/mm] , aber an diesen
> Stellen ist
> der Tangens negativ und damit die zu lösende Gleichung
> gar nicht definiert !
>
> Bei den wirklichen Lösungen der Gleichung [mm]tan(x)^{sin(x)}\ =\ cot(x)^{cos(x)}[/mm]
> ,
> nämlich an den Stellen [mm]\frac{\pi}{4}[/mm] und
> [mm]\frac{5\,\pi}{4}[/mm] , ist aber
> die Gleichung [mm]sin(x)\ =\ -cos(x)[/mm] nicht erfüllt ! .
>
> Wie kann dann die Gleichung [mm]tan(x)^{sin(x)}\ =\ cot(x)^{cos(x)}[/mm]
>
> trotzdem erfüllt sein ??
> Ganz einfach, weil an diesen Stellen der Tangens den
> Wert 1 hat. Da jede reelle Potenz von 1 wieder 1 ergibt,
> kommt es dann auf die Werte der Exponenten
> (hier sin(x) bzw. -cos(x)) gar nicht an !
>
> Die Gleichung hat's also doch ganz schön in sich !
nicht wirklich. Das, was Du hier schön ausformuliert hast, ist nichts anderes wie eine "Fallunterscheidung", die man auch einem Schüler geben kann, der sich nicht mit [mm] $\ln\,$ [/mm] und [mm] $\exp$ [/mm] stark befasst hat.
(Ich gebe aber zu, dass man bzgl. Schülern schon sagen kann, dass die Aufgabe schon etwas mehr an Überlegungen erfordert, und dass man ihnen den Hinweis geben sollte, dass sie, falls sie glauben, dass die Lösung total trivial sei, sie noch länger drüber nachdenken sollen - und dann eben den Tipp geben: "Überlegt mal, ob man es sich hier nicht zu leicht macht... denkt an Fallunterscheidung!")
Wenn man nun [mm] $\tan(x)^{\sin(x)+\cos(x)}=1$ [/mm] umschreibt zu
[mm] $$e^{(\sin(x)+\cos(x))*\ln(\tan(x))}=1\,,$$
[/mm]
so wie Fred es ja auch vorgeschlagen hat (bzw. das folgt aus Freds Strategie - man beachte dabei, dass das so nur geht, wenn [mm] $\tan(x) [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] gilt!), sieht man schnell, dass alle Werte [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $\ln(\tan(x))=0\,$ [/mm] die Gleichung erfüllen - das sind halt jene [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $\tan(x)=1\,.$
[/mm]
Also sagen wir es mal so: Bei "umständlicher" (aber durchaus naheliegender) Vorgehensweise kann man schnell etwas vergessen. Also so ganz Unrecht kann ich Dir auch nicht geben!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
ich sehe die Gleichung in Analogie zu Gleichungen wie etwa
$\ [mm] 2\,^{3\,x}\ [/mm] =\ [mm] 4^{\,x-1}$
[/mm]
welche in Aufgabensammlungen zum Umgang mit ein-
fachen Exponentialgleichungen haufenweise vorkommen.
Da kann man die rechte Seite auch als Potenz mit der Basis 2
schreiben und nachher einfach die Exponenten (zur selben
Basis 2) einander gleichsetzen.
Das funktioniert tadellos (man logarithmiert quasi zur
Basis 2). Natürliche Logarithmen zu bemühen wäre ein
überflüssiger Luxus.
Im vorliegenden Fall geht diese Methode aber schief,
da die gemeinsame Basis tan(x) , die man leicht haben
kann, keine Konstante ist, sondern von x abhängig ist
und insbesondere auch den Wert 1 annehmen kann.
Die Voraussetzung, dass tan(x)>0 sein muss, genügt
also nicht als "Vorsichtsmaßnahme".
Ob man dies nun als trivial oder doch eher als eine
etwas besondere Situation halten mag, kann ja jeder
für sich selber entscheiden ...
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Do 10.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Hallo Marcel,
>
> ich sehe die Gleichung in Analogie zu Gleichungen wie etwa
>
> [mm]\ 2\,^{3\,x}\ =\ 4^{\,x-1}[/mm]
>
> welche in Aufgabensammlungen zum Umgang mit ein-
> fachen Exponentialgleichungen haufenweise vorkommen.
das meinte ich mit "schulgerecht".
> Da kann man die rechte Seite auch als Potenz mit der Basis
> 2
> schreiben und nachher einfach die Exponenten (zur selben
> Basis 2) einander gleichsetzen.
> Das funktioniert tadellos (man logarithmiert quasi zur
> Basis 2).
Das ist im Endeffekt auch nur der [mm] $\ln\,,$ [/mm] da [mm] $\log_2(\cdot)=\ln(\cdot)/\ln(2)\,.$
[/mm]
> Natürliche Logarithmen zu bemühen wäre ein
> überflüssiger Luxus.
Das sehe ich anders: Gerade die Exponentialfunktion und der [mm] $\ln\,$ [/mm] sind doch in der Analysis I erstmal ein wunderbares Handwerkszeug, um schnell die Stetigkeit/Diff'barkeit von sowas wie $x [mm] \mapsto \log_3(x)$ [/mm] auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] zu sehen. Mir ist bewußt, dass es dafür auch andere Methoden gibt, aber elegant ist diese Methode sicherlich!
> Im vorliegenden Fall geht diese Methode aber schief,
> da die gemeinsame Basis tan(x) , die man leicht haben
> kann, keine Konstante ist, sondern von x abhängig ist
> und insbesondere auch den Wert 1 annehmen kann.
Wenn man sich bewußt macht, dass man hier nur Funktionen verknüpft - und Verknüpfungen injektiver Funktionen sind nun mal injektiv (und das kann man hier anwenden, wenn man den Definitionsbereich einschränkt, um den Rest mit Periodizität zu behandeln) - was geht da Deines Erachtens nach genau schief?
> Die Voraussetzung, dass tan(x)>0 sein muss, genügt
> also nicht als "Vorsichtsmaßnahme".
Das ist keine Vorsichtsmaßnahme, dass ist (im Reellen) erstmal eine Bedingung, die per Definitionem von [mm] $a^b$ [/mm] folgt: Diesen Ausdruck definiert man erstmal nur für $a > [mm] 0\,.$ [/mm] Du hast das allerdings anders kennengelernt, nehme ich an?
Aber unabhängig davon erkenne ich nicht, wo da nun die Problematik entstehen soll.
> Ob man dies nun als trivial oder doch eher als eine
> etwas besondere Situation halten mag, kann ja jeder
> für sich selber entscheiden ...
Ich finde es, wie gesagt, immer gut, wenn solche Dinge "an die Oberfläche" gebracht werden, weil sie sonst halt bei bestimmten Vorgehensweisen sonst "leicht unter den Tisch fallen können".
Aber entweder reden wir aneinander vorbei, oder ich versteh's nicht:
Wieso sollte bei der Vorgehensweise, wie Fred sie vorgeschlagen hat (und wie ich sie auch machen würde) - sei es mal dahingestellt, dass man nun den "Log. nat. und die Exp." luxuriös verwendet, das von Dir gewonnene Ergebnis nicht "offensichtlicher" werden? Das ist mir vollkommen unklar, wieso Du sagst, dass die "Vorsichtsmaßnahme", dass [mm] $\tan(x)\, [/mm] > 0$(was in meinen Augen auch keine Vorsichtsmaßnahme ist!) gelten muss,das nicht behebt?
Und nach wie vor:
Bei
[mm] $$f(x)^r=g(x)^s$$
[/mm]
kann ich, wenn ich gewisse Voraussetzungen an [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] habe, schon nach gewissen Schemen verfahren - auch, wenn ich dann bei genauerer Betrachtung, wenn [mm] $f\,$ [/mm] und [mm] $g\,$ [/mm] nun in irgendeinem Sinne "nicht gutartig genug" sein sollten, dann evtl. mit Fallunterscheidungen mich durchhangeln muss - oder das zumindest im Auge behalten sollte.
Also eigentlich will ich hier keine riesige Diskussion entfachen: Wichtig wäre es mir aber, was Deine Bemerkung mit "Vorsichtsmaßnahme, dass Tangens echt positiv ist reicht nicht" genauer zu bedeuten hat. Ich seh' das nämlich nicht (in meiner Welt) - und da würde ich dann schon gerne die Augen geöffnet bekommen, wenn ich da was übersehe ^^ (Man lernt ja nie aus - außerdem bin ich ja oft in gewissen Sinne auch in "meiner Denkweise" festgefahren ^^ ).
P.S.
Wie gesagt: Mir geht's nur drum, dass man mir ggf. die Augen öffnet "und mich ggf. ein wenig von meiner (festgefahrenen) Denkweise wegschubst". Ich will niemanden was böses 
Gruß,
Marcel
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> Aber unabhängig davon erkenne ich nicht, wo da nun die
> Problematik entstehen soll.
ich sehe auch keine (echte) Problematik
> Also eigentlich will ich hier keine riesige Diskussion
> entfachen
ich auch nicht ...
schönen Tag !
(nebenbei: das heutige Google-Doodle zum Muttertag ist ein
herzerfrischendes kleines Kunststück !)
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