Trigonometrische Gleichung < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 So 28.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | $\ [mm] \sin [/mm] x + [mm] \cos [/mm] x = 1 $ |
Ich dachte, ich nutze diesen Thread gleich...
Bei dieser Aufgabe geht es um's Substituieren.
Das Problem, vor dem ich steh, ist etwas weiter unten rot markiert.
Nämlich:
$\ [mm] \sin [/mm] x + [mm] \cos [/mm] x = 1 $
Subsitution durch
$\ [mm] \cos [/mm] x = [mm] \pm \wurzel{1-\sin^2 x}$, [/mm] $\ y = [mm] \sin [/mm] x $
$\ y [mm] \pm \wurzel{1-y^2} [/mm] = 1 $
$\ [mm] \pm \wurzel{1-y^2} [/mm] = 1 -y $
Nun lautet der nächste Schritt in der Lösung
$\ [mm] 1-y^2 [/mm] = [mm] {\red{1+ y^2 -2y}} [/mm] $
Mein Problem liegt irgendwie darin, dass ich die Gleichung
$\ [mm] \pm \wurzel{1-y^2} [/mm] = 1 -y $ nach beidseitigem Quadrieren auf die Form
$\ [mm] \pm 1-y^2 [/mm] = [mm] 1^2 -y^2 [/mm] $ gebracht hätte, also bei meinem Lösungsweg die dritte Bin. Formel, anstatt der zweiten auftaucht.
Was mach ich falsch? 
Edit:
Hm, ich glaube ich ahne schon, wo der Fehler liegt:
$\ [mm] 1^2 -y^2 \gdw [/mm] (1-y)(1+y)$ was ja nicht die Lösung beim Quadrieren sein sollte, sondern $\ (1-y)(1-y) [mm] \gdw 1^2 [/mm] -2y + [mm] y^2 [/mm] $
Ist meine annahme richtig?
Würde mich über eine Antwort freuen.
Vielen Dank.
Grüße,
ChopSuey
|
|
| |
|
Hallo ChopSuey,
> [mm]\ \sin x + \cos x = 1[/mm]
> Ich dachte, ich nutze diesen Thread
> gleich...
>
> Bei dieser Aufgabe geht es um's Substituieren.
>
> Das Problem, vor dem ich steh, ist etwas weiter unten rot
> markiert.
>
> Nämlich:
>
> [mm]\ \sin x + \cos x = 1[/mm]
>
> Subsitution durch
>
> [mm]\ \cos x = \pm \wurzel{1-\sin^2 x}[/mm], [mm]\ y = \sin x[/mm]
>
> [mm]\ y \pm \wurzel{1-y^2} = 1[/mm]
>
> [mm]\ \pm \wurzel{1-y^2} = 1 -y [/mm]
>
> Nun lautet der nächste Schritt in der Lösung
>
> [mm]\ 1-y^2 = {\red{1+ y^2 -2y}} [/mm]
>
> Mein Problem liegt irgendwie darin, dass ich die Gleichung
>
> [mm]\ \pm \wurzel{1-y^2} = 1 -y [/mm] nach beidseitigem Quadrieren
> auf die Form
>
> [mm]\ \pm 1-y^2 = 1 -y^2 [/mm] gebracht hätte, also bei meinem
> Lösungsweg die dritte Bin. Formel, anstatt der zweiten
> auftaucht.
Wie sieht denn dann dein Lösungsweg aus?
Bis zu der Zeile vor der rot markierten, also [mm] $\pm \wurzel{1-y^2} [/mm] = 1 -y$ bist du einverstanden?
Dann steht doch, wenn du quadrierst rechterhand [mm] $(a-b)^2$, [/mm] also 2.binom. Formel mit $a=1, b=y$
Und [mm] $(1-y)^2$ [/mm] ist nun mal [mm] $=1^2-2\cdot{}1\cdot{}y+y^2=1-2y+y^2=1+y^2-2y$ [/mm] (um es mal zu dem roten Ausdruck zu bringen)
>
> Was mach ich falsch?
Ich weiß nicht .. temporärer Knoten?
>
> Würde mich über eine Antwort freuen.
> Vielen Dank.
>
> Grüße,
> ChopSuey
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 So 28.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo schachuzipus,
> Hallo ChopSuey,
>
> > [mm]\ \sin x + \cos x = 1[/mm]
> > Ich dachte, ich nutze diesen
> Thread
> > gleich...
> >
> > Bei dieser Aufgabe geht es um's Substituieren.
> >
> > Das Problem, vor dem ich steh, ist etwas weiter unten rot
> > markiert.
> >
> > Nämlich:
> >
> > [mm]\ \sin x + \cos x = 1[/mm]
> >
> > Subsitution durch
> >
> > [mm]\ \cos x = \pm \wurzel{1-\sin^2 x}[/mm], [mm]\ y = \sin x[/mm]
> >
> > [mm]\ y \pm \wurzel{1-y^2} = 1[/mm]
> >
> > [mm]\ \pm \wurzel{1-y^2} = 1 -y[/mm]
> >
> > Nun lautet der nächste Schritt in der Lösung
> >
> > [mm]\ 1-y^2 = {\red{1+ y^2 -2y}}[/mm]
> >
> > Mein Problem liegt irgendwie darin, dass ich die Gleichung
> >
> > [mm]\ \pm \wurzel{1-y^2} = 1 -y[/mm] nach beidseitigem Quadrieren
> > auf die Form
> >
> > [mm]\ \pm 1-y^2 = 1 -y^2[/mm] gebracht hätte, also bei meinem
> > Lösungsweg die dritte Bin. Formel, anstatt der zweiten
> > auftaucht.
>
> Wie sieht denn dann dein Lösungsweg aus?
>
> Bis zu der Zeile vor der rot markierten, also [mm]\pm \wurzel{1-y^2} = 1 -y[/mm]
> bist du einverstanden?
Ja, schon. Ich sehe zumindest gerade keinen Fehler.
>
> Dann steht doch, wenn du quadrierst rechterhand [mm](a-b)^2[/mm],
> also 2.binom. Formel mit [mm]a=1, b=y[/mm]
Genau, hier liegt mein Fehler, dessen bin ich mir bewusst.
Ich dachte nur, da ich ja beide Seiten quadrier, und jedes Element auf beiden Seiten quadriert wird, der rechte Term zu
[mm]\pm \wurzel{1-y^2} = {\blue{{ 1^2 -y^2}}[/mm] wird.
Ich hab nicht ganz nachvollziehen können, weshalb ich das zuerst in Klammern nehmen soll, bzw wieso dieser Ausdruck zusammengefasst (durch Klammern) quadriert werden muss.
Ich weiss natürlich, dass $\ [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 \not= (a+b)^2 [/mm] $ ist.
Nun war meine Vermutung, dass mein (Denk)fehler so zu korrigieren sei, dass $\ a+b $ quadriert nicht zu $ [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] $ wird, sondern zu $\ [mm] (a+b)^2 [/mm] $ denn
$\ [mm] a^2+b^2 \gdw (a{\red{+}}b)(a{\red{-}}b) [/mm] $
Aber ob das damit zu begründen ist ..
Irgendwie hab ich grad nen ziemlichen Knoten. :-/
>
> Und [mm](1-y)^2[/mm] ist nun mal
> [mm]=1^2-2\cdot{}1\cdot{}y+y^2=1-2y+y^2=1+y^2-2y[/mm] (um es mal zu
> dem roten Ausdruck zu bringen)
>
> >
> > Was mach ich falsch?
>
> Ich weiß nicht .. temporärer Knoten?
>
>
Ich vermute/hoffe auch
>
> >
> > Würde mich über eine Antwort freuen.
> > Vielen Dank.
> >
> > Grüße,
> > ChopSuey
>
>
> LG
>
> schachuzipus
Viele Grüße,
ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 So 28.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ChopSuey!
Du musst Dir einfach merken, dass jede (Äquivalenz-)Umformung einer Geichung immer jeweils die gesamte Seite der Gleichung angewandt wird.
Von daher sind bei Deiner Aufgabe hier die Klammern bei [mm] $\red{(}1-y\red{)}^2$ [/mm] unentbehrlich.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 So 28.12.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Loddar,
Werd ich mir merken, danke.
Vielen Dank für die Hilfe Euch.
Grüße,
ChopSuey
|
|
|
|
