Trigonometrische Gleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Fr 17.11.2006 | | Autor: | feku |
Ich bin beim bearbeiten einer Aufgabe auf die Gleichung
[mm] cos(\alpha)=0,04+0,2sin(\alpha) [/mm] gestoßen. Wie kann ich die Gleichung nach [mm] \alpha [/mm] auflösen? Ich weiß nicht, wie ich mit sinus und cosinus in einer Gleichung umgehen muss.
|
|
| |
|
Wegen der [mm]2 \pi[/mm]-Periodizität genügt es, die Lösungen im Intervall [mm]- \pi \leq \alpha \leq \pi[/mm] zu berechnen und [mm]2 \pi[/mm]-periodisch fortzusetzen.
Für [mm]0 \leq \alpha \leq \pi[/mm] kannst du [mm]\sin{\alpha} = \sqrt{1 - \cos^2{\alpha}}[/mm] schreiben, und für [mm]- \pi \leq \alpha \leq 0[/mm] gilt: [mm]\sin{\alpha} = - \sqrt{1 - \cos^2{\alpha}}[/mm]
Wenn du dann [mm]t = \cos{\alpha}[/mm] substituierst, bekommst du eine Wurzelgleichung in [mm]t[/mm]. Diese löst man durch Isolieren der Wurzel und quadrieren. Du mußt wegen der Definition von [mm]t[/mm] dabei nur Lösungen suchen mit [mm]-1 \leq t \leq 1[/mm]. Beachte, daß das Quadrieren einer Gleichung keine Äquivalenzumformung ist. Die scheinbaren [mm]t[/mm]-Lösungen müssen also an der originalen Wurzelgleichung auf Korrektheit überprüft werden. Und aus den korrekten [mm]t[/mm]-Lösungen bekommst du dann die zugehörigen [mm]\alpha[/mm]-Lösungen. Auch hier muß man aufpassen: Neben der Taschenrechnerlösung [mm]\alpha_{\text{TR}}[/mm] ist auch [mm]- \alpha_{\text{TR}}[/mm] eine Cosinuslösung.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Sa 18.11.2006 | | Autor: | feku |
Vielen Dank für die Hilfe! Genau das [mm]\sin{\alpha} = \sqrt{1 - \cos^2{\alpha}}[/mm] hat mir gefehlt...
|
|
|
|
