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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:27 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Skalar85 |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Identitäten für alle zulässigen x, y [mm] \in \IR
[/mm]
i) tan(x+y)= [mm] \bruch{tan(x)+tan(y)}{1-tan(x)*tan(y)}
[/mm]
ii) [mm] sin^{2}(1/2*x)= \bruch{1-cos(x)}{2} [/mm] |
wie kann ich die eine seite am geschicktesten umstellen, sodass die andere seite raus kommt?
Meine Überlegungen:
i)
tan(x+y)= [mm] \bruch{sin(x+y)}{cos(x+y)}
[/mm]
sin(x+y)= sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)
cos(x+y)= cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)
tan(x+y)= [mm] \bruch{sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)}{cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)}
[/mm]
dann weiß ich nicht weiter
ii)
da [mm] cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1
[/mm]
habe ich nach [mm] sin^{2}(x) [/mm] umgestellt und x durch 1/2*x ersetzt
[mm] sin^{2}(1/2*x)= 1-cos^{2}(1/2*x)
[/mm]
aber wie soll ich dann weiter rechnen?
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> Beweisen Sie folgende Identitäten für alle zulässigen x, y
> [mm]\in \IR[/mm]
>
> i) tan(x+y)= [mm]\bruch{tan(x)+tan(y)}{1-tan(x)*tan(y)}[/mm]
>
> ii) [mm]sin^{2}(1/2*x)= \bruch{1-cos(x)}{2}[/mm]
> wie kann ich die
> eine seite am geschicktesten umstellen, sodass die andere
> seite raus kommt?
>
> Meine Überlegungen:
>
> i)
> tan(x+y)= [mm]\bruch{sin(x+y)}{cos(x+y)}[/mm]
>
> sin(x+y)= sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)
> cos(x+y)= cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)
> tan(x+y)=
> [mm]\bruch{sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y)}{cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)}[/mm]
>
> dann weiß ich nicht weiter
Kürze den Bruch mit $\ cos(x)*cos(y)$, d.h. teile den
Zähler und den Nenner durch diesen Term !
>
> ii)
> da [mm]cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1[/mm]
> habe ich nach [mm]sin^{2}(x)[/mm] umgestellt und x durch 1/2*x
> ersetzt
>
> [mm]sin^{2}(1/2*x)= 1-cos^{2}(1/2*x)[/mm]
>
> aber wie soll ich dann weiter rechnen?
Was du hier noch brauchst, ist die Doppelwinkelformel
für den Cosinus:
[mm] cos(2*\alpha)=cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)=2*cos^2(\alpha)-1
[/mm]
Setze darin einmal [mm] \alpha=\bruch{x}{2} [/mm] !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Skalar85 |
> > ii)
> > da [mm]cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1[/mm]
> > habe ich nach [mm]sin^{2}(x)[/mm] umgestellt und x durch 1/2*x
> > ersetzt
> >
> > [mm]sin^{2}(1/2*x)= 1-cos^{2}(1/2*x)[/mm]
> >
> > aber wie soll ich dann weiter rechnen?
>
>
> Was du hier noch brauchst, ist die Doppelwinkelformel
> für den Cosinus:
>
> [mm]cos(2*\alpha)=cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)=2*cos^2(\alpha)-1[/mm]
>
> Setze darin einmal [mm]\alpha=\bruch{x}{2}[/mm] !
da weiß ich nicht genau wie du dir das denkst
cos(2*x)= [mm] cos^{2}(x)-sin^{2}(x) [/mm] | - [mm] cos^{2}(x)
[/mm]
[mm] cos(2*x)-cos^{2}(x)=-sin^{2}(x) [/mm] | : -1
[mm] -cos(2*x)+cos^{2}(x)=sin^{2}(x) [/mm] | x ersetzen durch x/2
[mm] -cos(2*x/2)+cos^{2}(x/2)=sin^{2}(x/2) [/mm] ?
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> > > [mm]sin^{2}(1/2*x)= 1-cos^{2}(1/2*x)[/mm]
> > > aber wie soll ich dann weiter rechnen?
> > Was du hier noch brauchst, ist die Doppelwinkelformel
> > für den Cosinus:
> [mm]cos(2*\alpha)=cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)=2*cos^2(\alpha)-1[/mm]
> > Setze darin einmal [mm]\alpha=\bruch{x}{2}[/mm] !
> da weiß ich nicht genau wie du dir das denkst
> [mm]cos(2*x)=cos^{2}(x)-sin^{2}(x)[/mm]
> ........
Warum machst du nicht genau das, was ich vorgeschlagen habe ?
Ersetze [mm] \alpha [/mm] durch [mm] \bruch{x}{2} [/mm] !
Damit kommst du auf die Gleichung
[mm] cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1+cos(x)}{2}
[/mm]
die du dann weiter verwenden kannst für die Umformung
deiner Gleichung.
LG al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Skalar85 |
weil ich nicht genau weiß wo du
> $ [mm] cos(2\cdot{}\alpha)=cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)=2\cdot{}cos^2(\alpha)-1 [/mm] $ eingesetzt hast...
hast du das bei
$ [mm] sin^{2}(1/2\cdot{}x)= 1-cos^{2}(1/2\cdot{}x) [/mm] $
für [mm] cos^{2}(1/2\cdot{}x) [/mm] eingesetzt?
sorry wenn ich auf der langen leitung stehe ich rechne schon den ganzen tag an lina und an analysis gleichzeitig und sehe nur noch zahlen und zahlen und ... :(
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> weil ich nicht genau weiß wo du
> [mm]cos(2\cdot{}\alpha)=cos^2(\alpha)-sin^2(\alpha)=2\cdot{}cos^2(\alpha)-1[/mm]
> eingesetzt hast...
Also zuerst einfach einmal hier das [mm] \alpha [/mm] durch [mm] \bruch{x}{2} [/mm] ersetzen:
$\ cos(x)\ =\ [mm] 2*cos^2(\bruch{x}{2})-1$
[/mm]
Nach [mm] cos^2(\bruch{x}{2}) [/mm] aufgelöst:
[mm] $\red{cos^2(\bruch{x}{2})}\ [/mm] =\ [mm] \green{\bruch{1+cos(x)}{2}}$
[/mm]
Und jetzt:
[mm]sin^{2}(1/2\cdot{}x)\ =\ 1-\red{cos^{2}(1/2\cdot{}x)}=1-\green{\bruch{1+cos(x)}{2}}\ =\ .......[/mm]
Gruß und schönen Abend !
Jetzt solltest du dich erholen. 
Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:21 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Skalar85 |
Vielen Dank ;)
Ich liebe dieses Forum ....
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