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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:03 Do 20.04.2006 | | Autor: | Skydiver |
Hallo zusammen!
Ich hab mir gerade mal die Formel für den Cosinus angesehen und bin dabei auf eine Unklarheit gestoßen, von der ich hoffe, dass mir jemand von euch dabei behilflich sein kann sie aufzuklären.
Der Cosinus ist ja folgendermaßen gegeben:
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \frac{a^{H}b}{\sqrt{(a^{H}a)\cdot(b^{H}b)}}, [/mm] wobei das H für hermitesch transponiert steht.
Nehm ich nun zwei beliebige komplexe Vektoren x,y her und bilde einmal den Cosinus so, dass ich für a x und für b y einsetze und dann so, dass ich für a y und für b x einsetzte, so müsste der Cosinus davon ja unbeeindruckt bleiben, dass heißt jedes mal dasselbe liefern. Ich erhalte dann:
[mm] \frac{x^{H}y}{\sqrt{(x^{H}x)\cdot(y^{H}y)}} [/mm] = [mm] \frac{y^{H}x}{\sqrt{(y^{H}y)\cdot(x^{H}x)}} \rightarrow x^{H}y [/mm] = [mm] y^{H}x;
[/mm]
diese beiden Terme sind aber im allgemeinen nicht gleich. Für den einfachsten Fall komplexer eindimensionaler Vektoren würde sich ja ergeben:
[mm] (x_r-jx_c)\cdot (y_r+jy_c) [/mm] = [mm] x_ry_r-jx_cy_r+jx_ry_c+x_cy_c
[/mm]
[mm] (y_r-jy_c)\cdot (x_r+jx_c) [/mm] = [mm] y_rx_r-jy_cx_r+jy_rx_c+y_cx_c
[/mm]
Kann mir bitte jemand erklären wo mein Fehler liegt. Es kann ja wohl nicht sein, dass ein Winkel davon abhängt von welchem zu welchem Vektor ich ihn messe.
Vielen Dank für eure Hilfe!
mfg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:15 Sa 22.04.2006 | | Autor: | topotyp |
Winkel so zu bestimmen geht nur im Reellen, setze i=0 dann sind
die beiden Ausdrücke gleich!
(Denn der Winkel ist über $<x,y> [mm] =\|x\| \|y\| \cos(\phi)$ [/mm] bestimmt, rechts steht stets eine reelle Zahl (man will ja keine komplexen Winkel!), aber links
steht nicht stets eine reelle Zahl, wenn man im komplexen arbeitet!
Daher muss man in [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] bleiben.)
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