Trigonometrie/sin/Gleichheit < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:44 Fr 02.01.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Seien [mm] z_1, z_2 [/mm] komplexe Zahlen mit [mm] sin(z_1)=sin(z_2)
[/mm]
Man zeige: Es gibt eine ganze Zahl [mm] n\in\IZ [/mm] mit [mm] z_1=z_2+2*\pi*n [/mm] oder [mm] z_1=-z_2+(2n+1)*\pi [/mm] |
Ich komme bei einen Bsp nicht weiter über trigonometrische Funktionen.
[mm] sin(z_1)=sin(z_2) [/mm]
Ich verwende den Zusammenhang zwischen Exponentialfunktion und Sinus als Imaginärteil und erhalte: [mm] e^{iz_1}-e^{-iz_1}=e^{iz_2}-e^{-iz_2}
[/mm]
[mm] \gdw e^{i}*(e^{z_1}-e^{-z_1}-e^{z_2}+e^{-z_2})=0
[/mm]
Produktnullsatz: [mm] e^{i}=0 [/mm] oder [mm] e^{z_1}-e^{-z_1}-e^{z_2}+e^{-z_2}=0
[/mm]
Schaut unbrauchbar aus...;(
LG,
sissi
|
|
| |
|
moin,
> [mm]e^{iz_1}-e^{-iz_1}=e^{iz_2}-e^{-iz_2}[/mm]
> [mm]\gdw e^{i}*(e^{z_1}-e^{-z_1}-e^{z_2}+e^{-z_2})=0[/mm]
Du kannst hier nicht einfach [mm] $e^i$ [/mm] ausklammern. Bedenke die Potenzrechengesetze: [mm] $e^a\cdot e^b [/mm] = [mm] e^{a+b}$, [/mm] wohingegen [mm] $e^{ab} [/mm] = [mm] (e^a)^b$.
[/mm]
Stattdessen habe ich dir mal die Arbeit abgenommen auf Wikipedia zu gucken: ![[]](/images/popup.gif) klick.
Die schöne Formel
[mm] $\sin (x+y)\cdot \sin [/mm] (x-y) = [mm] \sin^2 [/mm] x - [mm] \sin^2 [/mm] y$ gefällt mir hier besonders gut. Warum? Weil hier für deinen Spezialfall [mm] $x=z_1$ [/mm] und [mm] $y=z_2$ [/mm] der Wert $0$ herauskommt.
Das ist eine meiner Meinung nach viel schönere Stelle für den Produktnullsatz: Es ist also $x+y$ eine Nullstelle des [mm] $\sin$ [/mm] oder $x-y$. Jetzt musst du nur noch wissen, wie die Nullstellen der komplexen Sinusfunktion aussehen und du bist so gut wie fertig. :)
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Sa 03.01.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
lieben Dank für deine Antwort, ich kannte diese Idenität des Sinus gar nicht.
[mm] sin(x+y)*sin(x-y)=sin^2(x)-sin^2(y)
[/mm]
Bew.:
sin(x+y)=sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x)
sin(x-y)=sin(x)cos(y)-sin(y)cos(x)
[mm] sin(x+y)*sin(x-y)=sin^2(x)cos^2(x)-sin^2(y)cos^2(x)=sin^2(x)*(1-sin^2(y))-sin^2(y)*(1-sin^2(x))=sin^2(x)-sin^2(y)
[/mm]
Setze [mm] x=z_1,y=z_2.
[/mm]
Voraussetzung [mm] sin(z_1)=sin(z_2) \Rightarrow sin^2(z_1)=sin^2(z_2)
[/mm]
[mm] sin(z_1+z_2)*sin(z_1-z_2)=sin^2(z_1)-sin^2(z_2)=0
[/mm]
[mm] \iff sin(z_1+z_2)=0 \vee sin(z_1-z_2)=0
[/mm]
[mm] \iff z_1+z_2\in\{k\pi:k\in\IZ\} \vee z_1-z_2\in\{k\pi:k\in\IZ\}
[/mm]
[mm] [\exists [/mm] k [mm] \in \IZ:z_1+z_2=k\pi \iff z_1=-z_2+k\pi]
[/mm]
[mm] \vee
[/mm]
[mm] [\exists [/mm] k [mm] \in \IZ:z_1-z_2=k\pi \iff z_1=+z_2+k\pi]
[/mm]
Wo ist der Fehler, denn in der Angabe steht das ja anders?
|
|
|
| |
|
Hallo sissile,
> Hallo,
>
> lieben Dank für deine Antwort, ich kannte diese Idenität
> des Sinus gar nicht.
>
> [mm]sin(x+y)*sin(x-y)=sin^2(x)-sin^2(y)[/mm]
> Bew.:
> sin(x+y)=sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x)
> sin(x-y)=sin(x)cos(y)-sin(y)cos(x)
>
> [mm]sin(x+y)*sin(x-y)=sin^2(x)cos^2(x)-sin^2(y)cos^2(x)=sin^2(x)*(1-sin^2(y))-sin^2(y)*(1-sin^2(x))=sin^2(x)-sin^2(y)[/mm]
>
> Setze [mm]x=z_1,y=z_2.[/mm]
> Voraussetzung [mm]sin(z_1)=sin(z_2) \Rightarrow sin^2(z_1)=sin^2(z_2)[/mm]
>
> [mm]sin(z_1+z_2)*sin(z_1-z_2)=sin^2(z_1)-sin^2(z_2)=0[/mm]
> [mm]\iff sin(z_1+z_2)=0 \vee sin(z_1-z_2)=0[/mm]
> [mm]\iff z_1+z_2\in\{k\pi:k\in\IZ\} \vee z_1-z_2\in\{k\pi:k\in\IZ\}[/mm]
>
> [mm][\exists[/mm] k [mm]\in \IZ:z_1+z_2=k\pi \iff z_1=-z_2+k\pi][/mm]
> [mm]\vee[/mm]
> [mm][\exists[/mm] k [mm]\in \IZ:z_1-z_2=k\pi \iff z_1=+z_2+k\pi][/mm]
>
> Wo ist der Fehler, denn in der Angabe steht das ja anders?
>
>
Nein. Fehler hast Du keinen gemacht.
Es kommen nur nicht die richtigen Ergebnisse heraus.
Die richtigen Ergebnisse erhältst Du,
wenn Du diese Additionstheoreme benutzt:
[mm]\sin\left(z_{1}\right)=sin\left(x+y\right)=sin\left(x\right)cos\left(y\right)+sin\left(y\right)cos\left(x\right)[/mm]
[mm]\sin\left(z_{2}\right)=sin\left(x-y\right)=sin\left(x\right)cos\left(y\right)-sin\left(y\right)cos\left(x\right)[/mm]
Diese subtrahierst und dann den rechtsstehenden Term auf
Lösungen untersuchst und auf [mm]z_{1}[/mm] bzw. [mm]z_{2}[/mm] zurückführst.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 So 04.01.2015 | | Autor: | sissile |
> Nein. Fehler hast Du keinen gemacht.
> Es kommen nur nicht die richtigen Ergebnisse heraus.
>
> Die richtigen Ergebnisse erhältst Du,
> wenn Du diese Additionstheoreme benutzt:
>
> [mm]\sin\left(z_{1}\right)=sin\left(x+y\right)=sin\left(x\right)cos\left(y\right)+sin\left(y\right)cos\left(x\right)[/mm]
>
> [mm]\sin\left(z_{2}\right)=sin\left(x-y\right)=sin\left(x\right)cos\left(y\right)-sin\left(y\right)cos\left(x\right)[/mm]
>
> Diese subtrahierst und dann den rechtsstehenden Term auf
> Lösungen untersuchst und auf [mm]z_{1}[/mm] bzw. [mm]z_{2}[/mm]
> zurückführst.
>
>
> Gruss
> MathePower
Hallo,
Ich verstehe nicht ganz, beginnst du das Bsp nun wieder von Anfang an oder verwendest du etwas von vorher? Denn woher nimmst du, dass [mm] z_1=x+y [/mm] und [mm] z_2=x-y [/mm] diese Gestalt haben?
LG,
sissi
|
|
|
| |
|
Hallo sissile,
> > Nein. Fehler hast Du keinen gemacht.
> > Es kommen nur nicht die richtigen Ergebnisse heraus.
> >
> > Die richtigen Ergebnisse erhältst Du,
> > wenn Du diese Additionstheoreme benutzt:
> >
> >
> [mm]\sin\left(z_{1}\right)=sin\left(x+y\right)=sin\left(x\right)cos\left(y\right)+sin\left(y\right)cos\left(x\right)[/mm]
> >
> >
> [mm]\sin\left(z_{2}\right)=sin\left(x-y\right)=sin\left(x\right)cos\left(y\right)-sin\left(y\right)cos\left(x\right)[/mm]
> >
> > Diese subtrahierst und dann den rechtsstehenden Term auf
> > Lösungen untersuchst und auf [mm]z_{1}[/mm] bzw. [mm]z_{2}[/mm]
> > zurückführst.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
>
> Hallo,
>
> Ich verstehe nicht ganz, beginnst du das Bsp nun wieder von
> Anfang an oder verwendest du etwas von vorher? Denn woher
> nimmst du, dass [mm]z_1=x+y[/mm] und [mm]z_2=x-y[/mm] diese Gestalt haben?
Um das Additionstheorem anwenden zu können,
ist das sinnvoll, daß [mm]z_{1}[/mm] bzw. [mm]\z_{2}[/mm] diese Gestalt haben.
Das Additionstheorem nehme ich aus Deinem letzten Post:
"
Bew.:
sin(x+y)=sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x)
sin(x-y)=sin(x)cos(y)-sin(y)cos(x)
"
> LG,
> sissi
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:07 Mo 05.01.2015 | | Autor: | sissile |
> > Hallo,
> >
> > Ich verstehe nicht ganz, beginnst du das Bsp nun wieder von
> > Anfang an oder verwendest du etwas von vorher? Denn woher
> > nimmst du, dass [mm]z_1=x+y[/mm] und [mm]z_2=x-y[/mm] diese Gestalt haben?
>
>
> Um das Additionstheorem anwenden zu können,
> ist das sinnvoll, daß [mm]z_{1}[/mm] bzw. [mm]\z_{2}[/mm] diese Gestalt
> haben.
>
> Das Additionstheorem nehme ich aus Deinem letzten Post:
>
> "
> Bew.:
> sin(x+y)=sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x)
> sin(x-y)=sin(x)cos(y)-sin(y)cos(x)
> "
>
> > LG,
> > sissi
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
Aber wie soll ich davor schon wissen, dass [mm] z_1, z_2 [/mm] diese Gestalt haben? Ich verstehe, dass es so brauchbar ist für die Additionstherme. Aber wenn ich [mm] z_1, z_2 [/mm] so einschränke kann ich mir ja nicht sicher sein, dass ich alle [mm] z_1, z_2 [/mm] treffe mit der Eigenschft [mm] sin(z_1)=sin(z_2)?
[/mm]
LG,
sissi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Mo 05.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Gegeben sind z1 und z2. Dann kannst Du x und y einfach ausrechnen. Dabei wirst Du feststellen, dass es für jedes Paar z1 und z2 genau ein passendes Paar x und y gibt.
|
|
|
| |
|
Ich bezweifle, daß die bisher vorgeschlagenen Lösungsversuche gültig sind. Solche Aufgaben sind immer im Kontext der Vorlesung zu sehen. Solange sissile nicht verrät, welche Eigenschaften der Exponential- oder Sinusfunktion bisher in der Vorlesung dran waren, kann nur schwer geholfen werden.
Ich habe natürlich eine Vermutung. Es dürfte bekannt sein, daß die Exponentialfunktion
(i) die Periode [mm]2 \pi \operatorname{i}[/mm] besitzt und
(ii) in einem halboffenen Horizontalstreifen der Breite [mm]2 \pi[/mm] eindeutig ist,
und daß der Sinus durch
(iii) [mm]\sin z = \frac{1}{2 \operatorname{i}} \cdot \left( \operatorname{e}^{\operatorname{i}z} - \operatorname{e}^{- \operatorname{i}z} \right)[/mm]
definiert ist. Und wenn nur dies bekannt ist, darf auch nur dieses zur Lösung der Aufgabe verwendet werden.
Insofern ist sissiles eigener Lösungsansatz der bessere Weg. Daß sie beim Beschreiten dieses Ansatzes dann an den Potenzgesetzen gescheitert ist, steht auf einem anderen Blatt. Hilfreich bei diesem Ansatz ist die folgende Äquivalenz, die für [mm]a,b \neq[/mm] gilt:
[mm]a - \frac{1}{a} = b - \frac{1}{b} \ \ \Leftrightarrow \ \ (a-b) \cdot (ab+1) = 0[/mm]
Ich denke, wir brauchen jetzt weitere Informationen von sissile.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:30 Mo 05.01.2015 | | Autor: | sissile |
Der Standart ist Analysis Forster, was ich verwenden darf.
Aber hier muss ich aufpassen, weil ich die ganzen Sätze nur für reelle Werte habe und nicht für komplexe.
Für komplexe z hab ich nur:
[mm] cos(z):=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}),sin(z):=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})
[/mm]
cos(x+iy)=cos(x)cosh(y)-i*sin(x)sinh(y)
sin(x+iy)=sin(x)cosh(y)+i*cos(x)sinh(y)
Aber danke für deinen Tipp!!Genau den hab ich gebraucht! Ich bin da aber noch auf Probleme gestoßen am Ende:
[mm] sin(z_1)=sin(z_2)
[/mm]
[mm] \gdw e^{iz_1}-e^{-iz_1}=e^{iz_2}-e^{-iz_2}
[/mm]
[mm] \gdw e^{iz_1}-\frac{1}{e^{iz_1}}-e^{-iz_1}=e^{iz_2}-\frac{1}{e^{iz_2}}
[/mm]
[mm] \gdw (e^{iz_1}-e^{iz_2})*(e^{iz_1}*e^{iz_2}+1)=0
[/mm]
Produktnullsatz:
[mm] \gdw e^{iz_1}-e^{iz_2}=0 \vee e^{i(z_1+z_2)}+1=0
[/mm]
1.Fall: [mm] e^{iz_1}-e^{iz_2}=0
[/mm]
[mm] \gdw e^{iz_1}=e^{iz_2 }
[/mm]
[mm] \gdw \frac{e^{iz_1}}{e^{iz_2 }}=1
[/mm]
[mm] \gdw e^{i(z_1-z_2)}=1
[/mm]
Jetzt hab ich aber nur für x [mm] \in \IR [/mm] gilt [mm] e^{ix}=1 \gdw [/mm] x ein ganzzahliges Vielfaches von [mm] 2\pi [/mm] ist.
[mm] z_1=a+ib,z_2=x+iy
[/mm]
[mm] i(z_1-z_2)=y-b+i(a-x)
[/mm]
[mm] e^{i(z_1-z_2)}=1 \gdw e^{y-b}*e^{i(a-x)}=1
[/mm]
[mm] Re(e^{i(z_1-z_2)})=e^{y-b} [/mm] cos(a-x)=1 [mm] \gdw [e^{y-b}=1 \wedge [/mm] cos(a-x)=1] [mm] \gdw [(y-b)\in\{2k\pi|k\in\IZ\} \wedge (a-x)\in\{2k\pi|k\in \IZ\}]
[/mm]
[mm] Im(e^{i(z_1-z_2)})=e^{y-b} [/mm] sin(a-x)=0 [mm] \gdw [/mm] sin(a-x)=0 [mm] \gdw (a-x)\in\{k\pi|k\in\IZ\}
[/mm]
Daraus folgt: [mm] (a-x)\in\{2k\pi|k\in \IZ\} \wedge (y-b)\in\{2k\pi|k\in\IZ\}
[/mm]
Die Real- und Imaginärteile sind ein Vielfaches von [mm] 2\pi [/mm] jeweils voneinander entfernt.
Frage: Aber weiß ich ob es sich um das selbe Vielfache k handelt???
2.Fall: [mm] e^{i(z_1+z_2)}+1=0
[/mm]
[mm] \gdw e^{i(z_1+z_2)}=-1
[/mm]
[mm] \gdw e^{-b-y+i(a+x)}=-1
[/mm]
[mm] Re(e^{i(z_1+z_2)})=e^{-b-y} [/mm] cos(a+x)=-1 [mm] \gdw [e^{-b-y}=1 \wedge [/mm] cos(a+x)=-1] [mm] \gdw [(-b-y)\in\{2k\pi|k\in \IZ\} \wedge (a+x)\in\{(2k+1)\pi|k\in\IZ\}]
[/mm]
[mm] Im(e^{i(z_1+z_2)})=e^{-b-y} [/mm] sin(a+x)=0 [mm] \gdw (a+x)\in\{k\pi|k\in\IZ\}
[/mm]
Daraus folgt: [mm] (-b-y)\in\{2k\pi|k\in \IZ\} \wedge (a+x)\in\{(2k+1)\pi|k\in\IZ\}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 07.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Mi 07.01.2015 | | Autor: | sissile |
Kann man die Frage nicht weiter bestehen lassen?
LG,
sissi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Mi 07.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Ist es recht so?
|
|
|
|
