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| Aufgabe | Aufgabe 2.1:
Ein Tanker wird von drei Schleppern A, B und C in einem
ruhenden Gewässer geschleppt. Jedes der drei Boote
entwickelt eine Zugkraft von S. Die Boote A und C ziehen
unter den Winkeln [mm] \alpha [/mm] und [mm] \gamma [/mm] zur Längsachse des Tankers
1. Bestimmen Sie zeichnerisch und rechnerisch den
Winkel [mm] \beta [/mm] so, dass sich der Tanker ausschließlich
in Richtung der Längsachse des Tankers fortbewegt.
2. Bestimmen Sie für diesen Fall die resultierende
Zugkraft R der drei Boote zeichnerisch als auch
rechnerisch.
Gegeben: S = 800 kN,
[mm] \alpha [/mm] = 25◦,
[mm] \gamma [/mm] = 35◦. |
Zu a) zeichnerisch:
Meine Idee war es, die Längsachse zu zeichnen und dann [mm] \vec{a} [/mm] als auch [mm] \vec{c} [/mm] einzuzeichnen (da die Winkel gegeben sind). Die Länge hätte ich jetzt spontan auf 4LE beschränkt - aber die Länge an sich tut ja nichts zur Aufgabe. Dann hätte ich ein Kräfteparallelogramm gezeichnet und vom Anfangspunkt bis zum Schnittpunkt [mm] \overrightarrow{AC}dann [/mm] die Resultierende gehabt. Dann vom Schnittpunkt aus mit dem gleichen Winkel den [mm] \vec{b} [/mm] zur Längsachse zeichnen und dann müsste man [mm] \beta [/mm] ablesen können. Oder?
Rechnerisch:
[mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] \vec{c} [/mm] = 0
--> Ax + Bx + Cx = 0
Ay + By + Cy = 0 (Da der Tanker ja komplett in Richtung der Längsachse fahren soll)
Dann haben wir weiterhin gelöst:
cos [mm] \alpha [/mm] * A1
sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{G}{H}
[/mm]
Warum brauche ich auf einmal Cosinus und Sinus?
x: A [mm] cos\alpha [/mm] + B [mm] cos\beta [/mm] + C [mm] cos\gamma [/mm] = R
y: A [mm] sin\alpha [/mm] + B [mm] sin\beta [/mm] + C [mm] sin\gamma [/mm] = 0
Verstehe ich ebenfalls nicht.. Warum brauchen wir für die x Richtung cos und für die y Richtung sin?
R und [mm] \beta [/mm] sind gesucht
--> (1): S * (cos [mm] \alpha [/mm] + cos [mm] \beta [/mm] + [mm] cos\gamma) [/mm] = R
Warum ist auf einmal das S in der Gleichung und wieso sind A, B und C weggefallen?
(2): S * (sin [mm] \alpha [/mm] + [mm] sin\beta [/mm] + [mm] sin\gamma) [/mm] = 0
[mm] \gdw sin\beta [/mm] = [mm] -sin\alpha [/mm] + [mm] sin\gamma
[/mm]
Müsste es nicht auch MINUS [mm] sin\gemma [/mm] sein?
[mm] \gdw \beta [/mm] = sin^-1 [mm] (-sin\alpha [/mm] + [mm] sin\gamma)
[/mm]
Haben wir hier quasi durch sinus dividiert?
[mm] \beta [/mm] = 8°
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Hallo!
Ich vermute, dazu gibt es noch eine Skizze, in der etwas mehr Informationen zur Position der einzelnen Schlepper gegeben sind.
Aber schaun wir mal...
Das Problem ist folgendes
Jeder Schlepper zieht mit der gleichen Kraft S. Diese kraft wirkt vom Schiff aus gesehen in Richtung des Schleppseils.
Angenommen, der erste Schlepper ist vom Schiff aus unter einem Winkel von 30° zu sehen. Dann wird das Schiff auch mit einer Kraft S in diese Richtung gezogen.
Zeichne die Längsachse (x-Richtung) durch das Schiff, sowie eine weitere Linie senkrecht (y-Richtung) dazu, durch den Schlepper. So erhälst du zusammen mit der Schleppleine ein rechtwinkliges Dreieck. Damit kannst du die Schleppkraft aufteilen in eine x-Komponente entlang der Längstachse und eine y-Komponente senkrecht dazu. Da du die Gesamtkraft S (Hypothenuse) kennst, kannst du die anderen Komponenten berechnen:
[mm] \vektor{F_x\\F_y}=\vektor{S*\cos{\alpha}\\S*\sin{\alpha}}
[/mm]
Das kannst du für jeden Schlepper separat hinschreiben. Die Summe der drei Kräfte ist allerdings nicht 0, sonst käme das Schiff nicht vorwärts. Vielmehr willst du eine gewisse resultierende Kraft in x-Richtung behalten, daher
[mm] S*\cos{\alpha}+S*\cos{\beta}+S*\cos{\gamma}=R
[/mm]
Damit das Schiff sich auch NUR entlang x bewegt, müssen die y-Komponenten sich gegenseitig aufheben:
[mm] S*\sin{\alpha}+S*\sin{\beta}+S*\sin{\gamma}=0
[/mm]
Dies sind also die beiden Gleichungen, mit denen du die Aufgabe lösen kannst.
Zu deinen Kommentaren:
> Rechnerisch:
> [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\vec{b}[/mm] + [mm]\vec{c}[/mm] = 0
> --> Ax + Bx + Cx = 0
> Ay + By + Cy = 0 (Da der Tanker ja komplett in Richtung der
> Längsachse fahren soll)
Ist nicht richtig.
>
> Dann haben wir weiterhin gelöst:
> cos [mm]\alpha[/mm] * A1
> sin [mm]\alpha[/mm] = [mm]\bruch{G}{H}[/mm]
> Warum brauche ich auf einmal Cosinus und Sinus?
>
> x: A [mm]cos\alpha[/mm] + B [mm]cos\beta[/mm] + C [mm]cos\gamma[/mm] = R
> y: A [mm]sin\alpha[/mm] + B [mm]sin\beta[/mm] + C [mm]sin\gamma[/mm] = 0
> Verstehe ich ebenfalls nicht.. Warum brauchen wir für die
> x Richtung cos und für die y Richtung sin?
Sollte nun klar sein.
>
> R und [mm]\beta[/mm] sind gesucht
>
> --> (1): S * (cos [mm]\alpha[/mm] + cos [mm]\beta[/mm] + [mm]cos\gamma)[/mm] = R
> Warum ist auf einmal das S in der Gleichung und wieso sind
> A, B und C weggefallen?
Das A, B, C stand anfangs für die verschiedenen Kräfte der drei Schlepper. Tatsächlich haben sie aber alle drei die gleiche Anriebskraft, eben S.
> (2): S * (sin [mm]\alpha[/mm] + [mm]sin\beta[/mm] + [mm]sin\gamma)[/mm] = 0
> [mm]\gdw sin\beta[/mm] = [mm]-sin\alpha[/mm] + [mm]sin\gamma[/mm]
> Müsste es nicht auch MINUS [mm]sin\gemma[/mm] sein?
Ja! Entweder das oder es fehlen Klammern.
> [mm]\gdw \beta[/mm] = sin^-1 [mm](-sin\alpha[/mm] + [mm]sin\gamma)[/mm]
> Haben wir hier quasi durch sinus dividiert?
Nein. Mit [mm] sin^{-1} [/mm] meint man die Umkehrfunktion vom Sinus und das ist mit Nichten ein Teilen durch den Sinus. Schließlich kannst du [mm] \sqrt{x}=2 [/mm] auch nicht lösen, indem du "durch die Wurzel teilt". Die Schreibweise kommt daher, daß man für die Umkehrfunktion einer Funktion $f(x)_$ gerne [mm] f^{-1}(x) [/mm] schreibt. Formal ist das aber ziemlich unschön, weil man das mit einer Potenz verwechseln kann. Grade beim Sinus schreibt man auch [mm] \sin^4(x) [/mm] für [mm] (\sin(x))^4, [/mm] und dann ist [mm] \sin^{-1} [/mm] ziemlich ungünstig.
Die Umkehrfunktion vom Sinus heißt Arcussinus, und schreibt sich daher arcsin(), manchmal auch abgekürzt asin().
> [mm]\beta[/mm] = 8°
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