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| Aufgabe | Die beiden Funktionen h(x) = 2*cos(x) und g(x) = sin(x) werden addiert und geben die Funktion f(x) = a*sin (x+φ).
Berechne Sie die Werte für a und φ. |
Hallo alle zusammen.
Die oben genannte Aufgabe war Teil einer Analysisklausur, die ich momentan als Klausurvorbereitung zu lösen versuche. Bei dem Versuch bleibt es leider auch, da ich einfach nicht weiter komme und offensichtlich auch generelle Probleme mit Trigonometrischen Funktionen habe.
g(x) + h(x) = f(x) [mm] \Rightarrow
[/mm]
2*cos (x) + sin(x) = a*(sin(x) * cos(φ) + sin(φ) * cos(x))
[mm] \gdw
[/mm]
a = [mm] \bruch{2*cos (x) + sin(x)}{sin(x) * cos(φ) + sin(φ) * cos(x)}
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht einfach nicht weiter. Den Term kann man sicher noch vereinfachen, jedoch habe ich keine Ahnung wie?!
Wenn mir da jemand Helfen könnte, wäre ich sehr dankbar. Das bezieht sich sowohl auf Tipps und Anregungen zur Lösung der Aufgabe, als auch auf eine vielleicht erklärende/ verdeutlichernde Lösung.
Schonmal vielen Dank und schönen Gruß
Sich
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 Do 04.08.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die beiden Funktionen h(x) = 2*cos(x) und g(x) = sin(x)
> werden addiert und geben die Funktion f(x) = a*sin (x+φ).
> Berechne Sie die Werte für a und φ.
> Hallo alle zusammen.
>
> Die oben genannte Aufgabe war Teil einer Analysisklausur,
> die ich momentan als Klausurvorbereitung zu lösen
> versuche. Bei dem Versuch bleibt es leider auch, da ich
> einfach nicht weiter komme und offensichtlich auch
> generelle Probleme mit Trigonometrischen Funktionen habe.
>
> g(x) + h(x) = f(x) [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> 2*cos (x) + sin(x) = a*(sin(x) * cos(φ) + sin(φ) *
> cos(x))
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> a = [mm]\bruch{2*cos (x) + sin(x)}{sin(x) * cos(φ) + sin(φ) * cos(x)}[/mm]
Das ist doch Unfug. a darf doch nicht von x und [mm] \varphi [/mm] abhängen !
>
> Jetzt weiß ich nicht einfach nicht weiter. Den Term kann
> man sicher noch vereinfachen, jedoch habe ich keine Ahnung
> wie?!
>
> Wenn mir da jemand Helfen könnte, wäre ich sehr dankbar.
> Das bezieht sich sowohl auf Tipps und Anregungen zur
> Lösung der Aufgabe, als auch auf eine vielleicht
> erklärende/ verdeutlichernde Lösung.
>
> Schonmal vielen Dank und schönen Gruß
> Sich
Dar Ansatz
2*cos (x) + sin(x) = a*(sin(x) * cos(φ) + sin(φ) * cos(x)) (*)
war doch gut !
(*) soll doch für alle x gelten, also auch für x=0 und x= [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Damit bekommst Du 2 Gleichungen für die Unbekannten a und φ
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Do 04.08.2011 | | Autor: | abakus |
Alternative: 2*cos (x) + sin(x) hat Hoch- und Tiefpunkte, die mit Hilfe der 1. Ableitung bestimmbar sind:
-2sin(x)+cos(x)=0
cos(x)=2sin(x)
1/2=tan(x)
Die Schnittpunkte der Funktion f(x)=2*cos (x) + sin(x) mit der x-Achse liegen zwischen den Extrempunkten.
Gruß Abakus
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Wenn man nen Brett vorm Kopf hat...
Danke Fred, für deine schnelle Antwort. Da wäre ich momentan überhaupt nicht draufgekommen, obwohl es so logisch und einleuchtend ist.
Also so gehts weiter:
2*cos (x) + sin(x) = a*(sin(x) * [mm] cos(\phi) [/mm] + [mm] sin(\phi) [/mm] * cos(x))
für x=0:
2 = [mm] a*sin(\phi) \Rightarrow [/mm] a = [mm] \bruch{2}{sin(\phi)}
[/mm]
für [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
1 = [mm] a*cos(\phi) \Rightarrow [/mm] a = [mm] \bruch{1}{cos(\phi)}
[/mm]
Dann habe ich die beiden Gleichungen gleichgesetzt:
[mm] \bruch{cos(\phi)}{sin(\phi)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \gdw \bruch{1}{tan(\phi)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Dank meines klugen Taschenrechners komme ich dann auch auf [mm] \phi \approx [/mm] 1.107
und somit auch auf a [mm] \approx [/mm] 2.236
jedoch bekomme ich es gerade nicht schriftlich gelöst. Bekomme also den tan nicht elimiert... Wäre klasse, wenn du mir da nochmal helfen könntest. Das Brett ist einfach sehr hartnäckig gerade ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Nochmal Danke!
Gruß
Sich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Do 04.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Sich,
da wollen wir doch mal Dich von Deinem Brett erlösen.
Eine Gleichung hast Du selbst rausbekommen
[mm] \varphi = \arctan(2) [/mm]
Für die Berechnung von a quadrierst Du beide Gleichungen und addierst sie, dabei entsteht ein wunderschöner Term [mm] \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi [/mm], der gerade eine glatte 1 ergibt.
Übrig bleibt
[mm] 5 = a^2 [/mm]
Okay?
Viele Grüße,
Infinit
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Besten dank für deine Hilfe.
Das Brett ist nun endlich gelöst 
Auch wenn ich a anders bestimmt habe. Denn obwohl mir klar ist , dass [mm] sin^{2}\varphi [/mm] * [mm] cos^{2}\varphi [/mm] = 1 ist, sehe ich nicht, wie du auf dein Ergebnis kommst:
2 = a * [mm] sin\varphi
[/mm]
1 = a * [mm] cos\varphi
[/mm]
wenn ich die addiere, dann quadriere kommt da:
[mm] \bruch{4}{sin^{2}\varphi} [/mm] + [mm] \bruch{1}{cos^{2}\varphi} [/mm] = [mm] (a+a)^{2}
[/mm]
raus, was zu:
[mm] \bruch{\wurzel{5}}{2} [/mm] = a
führt...
aber ich verstehe das bestimmt auch nur falsch.
Ich habe a bestimmt, in dem ich [mm] \varphi [/mm] in [mm] \bruch{2}{sin\varphi} [/mm] = a eingesetzt habe. Auch mit dem korrekten Ergebnis.
Gruß
Sich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Fr 05.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
richtig ausklammern soltest Du aber können.
Die rechten Seiten nach Quadrieren addiert ergibt
[mm] a^2 cos^2 \varphi + a^2 \sin^2 \varphi = a^2\cdot (\cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi) = a^2 [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo,
da haben wir uns misverstanden. Was aber mein Fehler war. Hatte Deinen vorherigen Kommentar einfach falsch verstanden.
Wie man ausklammert das weiß ich schon, mir war diese Art ein Gleichungssystem zu lösen nur gerade nicht gegenwärtig, deswegen bin ich auch vom falschen Startpunkt ausgegangen.. aber egal. Alle Unklarheiten sind meinerseits beseitigt.
Auf jeden Fall, Vielen Dank für Deine Hilfe.
Schönen Tag noch
Sich
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Fr 05.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
na, da freue ich mich, dass alles nun klar ist.
Viele Grüße und einen schönen Tag auch Dir,
Infinit
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