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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Fr 03.10.2008 | | Autor: | pagnucco |
Hallo zusammen,
Habe gerade mir die Formel des Halben Winkels [mm] sin\alpha/2=\wurzel[2]{1-cos\alpha/2} [/mm] mittels Einheitskreis und gleichseitigem Dreieck bewiesen, das hat super geklappt. Jetzt wollte ich das selbe auch für den Kosinus versuchen und es klappt nicht. Hat vielleicht jemand einen Tipp?
Es geht um die Formel: [mm] cos\alpha/2=\wurzel[2]{1+cos\alpha/2}
[/mm]
Lg pagnucco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, pagnucco,
vielleicht liegt's daran, dass Du die Klammern vergessen hast?
> Habe gerade mir die Formel des Halben Winkels
> [mm]sin\alpha/2=\wurzel[2]{\red{(}1-cos\alpha\red{)}/2}[/mm] mittels Einheitskreis
> und gleichseitigem Dreieck bewiesen, das hat super
> geklappt. Jetzt wollte ich das selbe auch für den Kosinus
> versuchen und es klappt nicht. Hat vielleicht jemand einen
> Tipp?
>
> Es geht um die Formel:
> [mm]cos\alpha/2=\wurzel[2]{\red{(}1+cos\alpha\red{)}/2}[/mm]
>
> Lg pagnucco
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Fr 03.10.2008 | | Autor: | pagnucco |
 wenn es das ist, wäre das super. Leider ist es das nicht.
Wenn ich die Formel [mm] cos(\alpha/2)=\wurzel[2]{31+cos(\alpha)/2} [/mm] umforme komme ich auf [mm] cos(\alpha/2)=1+cos(\alpha)/2*cos(\alpha). [/mm] Jetzt weiß ich nicht genau was ich damit anfangen soll.
im ersten Beweis war aus der Skizze klar zu erkennen das die Hypothenuse [mm] =2*sin(\alpha/2) [/mm] ist. und die Gegenkathe the [mm] 1-cos(\alpha), [/mm] was dann mit zwei kleineren umformungen auf die gewünschte Formel führte. Leider geht es nicht, das ich eine Skizze einfüge, aber es ist wirklich nicht schwer die Skizze nachzuvollziehen. Einfach I.Quadrant Einheitskreis, Winkel [mm] \alpha [/mm] zeichnen ca. 80°und Punkt P1 auf Kreis markieren, mit P2(1,0) verbinden, Winkelhalbierende von [mm] \alpha(gleich [/mm] Mittelsenkrechte von P1 P2) und Lot von P1 auf x-Achse mit Punkte P3. Nun ist Winkel P3P1P2= [mm] \alpha/2 [/mm] zu beweisen. Was ja einfach ist, denn Die Gegenkathete ist [mm] 1-cos(\alpha) [/mm] und die Hypothenuse wie bereits erwähnt [mm] 2*sin(\alpha/2).
[/mm]
Nur mit Kosinus klappts nicht :-(
Lg pagnucco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Fr 03.10.2008 | | Autor: | weduwe |
wenn du gelten läßt, dass schon bekannt ist:
[mm] sin2\alpha=2sin\alpha\cdot cos\alpha [/mm] geht es ganz einfach aus den beiden ähnlichen dreiecken:
[mm] (1+cos2\alpha):sin2\alpha=cos\alpha:sin\alpha
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Fr 03.10.2008 | | Autor: | pagnucco |
Versteh ich leider nicht, also den Zusammenhang meine ich. Sorry
Wie kommst du jetzt darauf? War meine Versuchsbeschreibung so mies?
[url=1] Datei-Anhang [mm] [/C:\Dokumente [/mm] und [mm] Einstellungen\Marco\Desktop]
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Fr 03.10.2008 | | Autor: | pagnucco |
Dateianhang hat leider nicht geklappt glaube ich :-(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Fr 03.10.2008 | | Autor: | weduwe |
> Versteh ich leider nicht, also den Zusammenhang meine ich.
> Sorry
>
> Wie kommst du jetzt darauf? War meine Versuchsbeschreibung
> so mies?
>
> [url=1] Datei-Anhang [mm][/C:\Dokumente[/mm] und [mm]Einstellungen\Marco\Desktop][/mm]
wenn ich verstünde, was du nicht verstehst?
das haben wir doch schon (seinerzeit) am einheitskreis bewiesen:
[mm] sin(\alpha+\beta)=sin\alpha\cdot cos\beta+....\to sin2\alpha=2sin\alpha\cdot cos\alpha
[/mm]
und mit dem zeug von oben hast du damit
[mm] (1+cos2\alpha):sin2\alpha=cos\alpha:sin\alpha
[/mm]
[mm] (1+cos2\alpha)=\frac{2\sin\alpha\cdot cos^2\alpha}{sin\alpha}=2cos^2\alpha\to cos\alpha=\sqrt{\frac{1+cos2\alpha}{2}}
[/mm]
also genau das, was du zeigen willst
und jetzt sage mir bitte, was du da nicht verstehst.
richtig ist übrigens:
[mm] sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-cos2\alpha}{2}}
[/mm]
[mm] cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+cos2\alpha}{2}}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:29 Sa 04.10.2008 | | Autor: | pagnucco |
Hallo, schade das ich euch nicht meine Skizze posten kann, dann wüsstet ihr vielleicht was ich meine. Ist ein wirklich schöner elementar-geometrischer Beweis, bei dem ich halt allerdings bei der Formel [mm] cos(\alpha/2)=\wurzel[2]{1+cos(\alpha)}/2 [/mm] einen kleinen Knoten habe und ihn nicht richtig hinbekomme.
Ich wünsch trotzdem allen noch ein schönes Wochenende
Lg pagnucco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:40 Sa 04.10.2008 | | Autor: | weduwe |
> Hallo, schade das ich euch nicht meine Skizze posten kann,
> dann wüsstet ihr vielleicht was ich meine. Ist ein wirklich
> schöner elementar-geometrischer Beweis, bei dem ich halt
> allerdings bei der Formel
> [mm]cos(\alpha/2)=\wurzel[2]{1+cos(\alpha)}/2[/mm] einen kleinen
> Knoten habe und ihn nicht richtig hinbekomme.
>
> Ich wünsch trotzdem allen noch ein schönes Wochenende
>
> Lg pagnucco
wenn ich deine botschaft richtig interpretiere, sollte das so ausschauen
[Dateianhang nicht öffentlich]
nach wie vor richtig ist allerdings:
[mm] sin\alpha =\sqrt{\frac{1-cos2\alpha}{2}} [/mm] mit [mm] \alpha\to \frac{\alpha}{2}
[/mm]
was ja auch aus dem bilderl folgt
und analog der gewünschte beweis für
[mm] cos\alpha=\sqrt{\frac{1+cos2\alpha}{2}}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 Sa 04.10.2008 | | Autor: | pagnucco |
boah! echt klasse hab vielen herzlichen Dank, ganau das hatte ich gemeint. Du bist ein echter Künstler. Perfekt, jetzt hab ich beide geometrischen Beweise. Danke das du mir beim zweiten auf die "zeichnerischen" Sprünge geholfen hast. Bis bald vielleicht mal wieder.
Lg pagnucco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Disap |
Alternativ für [mm] $\alpha$ [/mm] einfach [mm] $\alpha [/mm] + 0.5 [mm] \pi [/mm] $ einsetzen, da ja bekanntlich gilt
[mm] $\cos(x) [/mm] = [mm] \sin(x +0.5*\pi)$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Fr 03.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen,
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> Habe gerade mir die Formel des Halben Winkels
> [mm]sin\alpha/2=\wurzel[2]{1-cos\alpha/2}[/mm] mittels Einheitskreis
> und gleichseitigem Dreieck bewiesen, das hat super
> geklappt. Jetzt wollte ich das selbe auch für den Kosinus
> versuchen und es klappt nicht. Hat vielleicht jemand einen
> Tipp?
>
> Es geht um die Formel:
> [mm]cos\alpha/2=\wurzel[2]{1+cos\alpha/2}[/mm]
>
> Lg pagnucco
Hallo,
für einen beliebigen Winkel x (also auch für [mm] \alpha/2) [/mm] gilt [mm] sin^2 [/mm] x + [mm] cos^2 [/mm] x = 1
Diese Beziehung wird von
[mm] sin\alpha/2 [/mm] und [mm] cos\alpha/2 [/mm] offensichtlich erfüllt.
Gruß Abakus
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