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Trigonometri: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 Mo 06.06.2005
Autor: FT3

Hallo! Ich komme da bei einer Aufgabe nicht weiter. Könnt ihr mir vielleicht helfen? Hier die Aufgabe: Zeige das gilt: tan 60 = Wurel aus 3 ( Also eine 3 unter einer Wurzel)^^
Hinweis: Benutze ein gleichseitiges Dreieck.
Also hab ich mal ein Dreieck gezeichnet mit der Kantenlänge a. Dann hab ich die Höhe eingezeichnet. NUn hab ich mal den PYthagoras aufgestellt.
Also:a² = h²+(a/2)² /-(a/2)²
h² = a²-(a/2)²
h² = a²-a²/4

So nun komm ich nicht weiter. Ich weiß nicht wie man beweisen soll das tan 60 gleich der wurzel 3 ist. Unser Lehrer meinte das auf beiden seiten dann wurzel aus 3 rauskommen soll

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Trigonometri: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 Mo 06.06.2005
Autor: Paulus

Hallo FT3

[willkommenmr]

Du bist ja schon fast fertig!

Du hast ja:

[mm] $h^2=a^2-\bruch{a^2}{4}$ [/mm]

Rechne einfach weiter:

[mm] $h^2=a^2-\bruch{a^2}{4}=a^2*(1-\bruch{1}{4})=\bruch{3a^2}{4}$ [/mm]

Nun kannst du die Wurzel ziehen:

[mm] $h=\wurzel{\bruch{3a^2}{4}}=\bruch{\wurzel{3a^2}}{\wurzel{4}}=\bruch{\wurzel{3}*\wurzel{a^2}}{\wurzel{4}}=\bruch{\wurzel{3}*a}{2}$ [/mm]

So, und jetzt schau die Definition des Tangens nochmals an: Gegenkathete durch Ankathete.

In deiner Zeichnung siehst du, dass die Gegenkathete des Winkels 60° die Höhe $h_$ ist, während die Ankathete [mm] $\bruch{a}{2}$ [/mm] ist.

Es gilt also: [mm] $\tan(60°)=h [/mm] / [mm] \bruch{a}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2h}{a}$ [/mm] (2. Bruch umkehren und multiplizieren)

Ich dieser Formel brauchst du nur noch das $h_$ durch den oben berechneten Wert zu ersetzen.

Kannst du das noch machen? :-)

Mit lieben Grüssen

Paul
Bezug
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