Trigonalisierbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:29 Mo 06.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
man kann also einen Endomorphismus f:V [mm] \to [/mm] V genau dann trigonalisieren, wenn sein charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
In welchem Zusammenhang treffe ich denn hier auf eine "Normalform"?
Wenn ich einen Endomorphismus diagonalisieren kann, dann zerfällt er ja auch in Linearfaktoren. Und dieses kann ich mit der Jordanschen Normalform vereinfachen. Wie?
Herzlichen Dank, daß Ihr mir helft!
Viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Mo 06.09.2004 | | Autor: | dieter |
HI!
> Hallo,
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> man kann also einen Endomorphismus f:V [mm]\to[/mm] V genau dann
> trigonalisieren, wenn sein charakteristisches Polynom in
> Linearfaktoren zerfällt.
>
> In welchem Zusammenhang treffe ich denn hier auf eine
> "Normalform"?
>
Beim Trigonalisieren (Also dem finden einer Basis des Endomorphismus, so dass die Matrix des Endomorphismus bezüglich dieser Basis eine obere Dreiecksmatrix ist) gibt es im allgemeinen sehr viele Möglichkeiten. Die Jordansche Normalform (also eine Bais des Endomorphismus, so dass die Matrix nur Einträge auf der Diagonale und zusätzlich eventuell 1en direkt über der Diagonale enthält) ist ein Fall der Trigonalisierung.
> Wenn ich einen Endomorphismus diagonalisieren kann, dann
> zerfällt er ja auch in Linearfaktoren.
Ich denke du meinst das charaktaristische Polynom des Endomorphismus(?)
> Und dieses kann ich
> mit der Jordanschen Normalform vereinfachen. Wie?
Was willst du vereinfachen? den Endomorphismus? das Polynom?
Wenn der Endomorphismus diagonalisierbar ist (dafür ist es notwendig, aber nicht hinreichend, dass das charaktaristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt), dann findet man eine Basis, so dass die Matrix des Endomorphismus bezüglich dieser Bais diagonalgestalt hat.
Schreib doch bitte nochmal konkret, was du wissen willst.
gruß
dieter
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Mo 06.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
ja, entschuldigung! Ich merke es beim erneuten Durchlesen. Nach 10 Stunden Lernen fällt es doch schwer, klare Worte zu finden.
Also, ich gehe folgendermaßen vor, um einen Endomorphismus zu diagonalisieren:
1) ich bestimme eine beliebige Darstellungsmatrix.
2) ich bestimme das charakteristische Polynom
3) ich bestimme die Eigenwerte mit ihrer Vielfachheit.
4) ich bestimme die jeweils zu den Eigenwerten gehörigen Eigenräume und überprüfe die Vielfachheiten der Eigenwerte und Dimensionen der Eigenräume.
5) und wenn ich Glück habe, kann ich eine Matrix in Diagonalgestalt finden.
Nun habe ich aber etwas darüber gelesen, daß ich das Ganze mit der Jordanschen Normalform vereinfachen kann. Ich weiß, wie eine Jordan-Matrix aussieht, kann aber nicht sagen, wie ich da nun rangehe...
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Mo 06.09.2004 | | Autor: | dieter |
Hi!
> Hallo,
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> ja, entschuldigung! Ich merke es beim erneuten Durchlesen.
> Nach 10 Stunden Lernen fällt es doch schwer, klare Worte zu
> finden.
>
> Also, ich gehe folgendermaßen vor, um einen Endomorphismus
> zu diagonalisieren:
>
> 1) ich bestimme eine beliebige Darstellungsmatrix.
> 2) ich bestimme das charakteristische Polynom
> 3) ich bestimme die Eigenwerte mit ihrer Vielfachheit.
> 4) ich bestimme die jeweils zu den Eigenwerten gehörigen
> Eigenräume und überprüfe die Vielfachheiten der Eigenwerte
> und Dimensionen der Eigenräume.
Genau richtig. Und wenn du nun zu jedem (algebraisch) k-fachem Eigenwert auch k Eigenvektoren findest (also insgesamt n linear unabhängige Eigenvektoren wenn V n-dimensional ist), dann ist deine Matrix diagonalisierbar und du bekommst deine Diagonalmatrix in dem du einfach alle Eigenwerte auf die Diagonale schreibst.
> 5) und wenn ich Glück habe, kann ich eine Matrix in
> Diagonalgestalt finden.
> Nun habe ich aber etwas darüber gelesen, daß ich das Ganze
> mit der Jordanschen Normalform vereinfachen kann. Ich weiß,
> wie eine Jordan-Matrix aussieht, kann aber nicht sagen, wie
> ich da nun rangehe...
Also: Diesen Agorithmus kann man nicht mit Hilfe der Jordanschen Normalform vereinfachen. Allerdings kann man im Fall, dass der Endomorphismus nicht diagonalisierbar ist, sogenannte verallgemeinerte Eigenvektoren (oder auch Hauptvektoren) finden, so dass man zwar keine Basis findet, so dass die Matrix diagonal ist, aber immerhin ein Jordan-Matrix ist, also so nah wie möglich an einer Diagonalmatrix, aber im allgemeinen halt nicht unbedingt diagonal.
So kann man also jede Matrix (über [mm] $\IC$ [/mm] bzw. einem algebraisch abgeschlossenenm Körper) zu einer Jordan-Matrix vereinfachen.
gruß
dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Do 09.09.2004 | | Autor: | Bettina |
Hallo Regine
Wie Dieter schon geschrieben hat, bleibt der Algorithmus, welchen du geschrieben hast, der gleiche - auch wenn du über die Jordansche Normalform gehen möchtest.
Was vielleicht aus der letzten Antwort nicht so klar raus kommt: Wenn eine Matrix diagonalisierbar ist, dann hat die zugehörige Jordanmatrix auch diagonalgestalt. (Die Grösse der Jordanblöcke ist dann immer eins.)
Viele Grüsse
Bettina
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