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| Aufgabe | Beweisen Sie:
Seien $ [mm] Q_{1} [/mm] , ... , [mm] Q_{N} \subset \IR [/mm] $ Intervalle, $ [mm] c_{1} [/mm] , ... , [mm] c_{N} \ge [/mm] 0 $ und alle rell. Und es gilt $ [mm] \summe_{i=1}^{N} c_{i}*\chi_{Q_{i}(x)} \ge [/mm] 1 $ für alle $ x [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] \cap \IQ [/mm] $ [mm] $\Rightarrow [/mm] $ $ [mm] \summe_{i=1}^{N} c_{i}*vol(Q_{i}) \ge [/mm] 1 $ |
Hallo,
ich habe versucht diese Aufgabe zulösen, leider bin ich mir nicht ganz sicher ob ich das so schreiben kann.
Offensichtlich ist $ [mm] \phi [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{N} c_{i}*\chi_{Q_{i}} [/mm] $ eine Treppenfunktion $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Es gibt ein Darstellung von $ [mm] \phi [/mm] $ als $ [mm] \summe_{i=1}^{K} \overline{c_{i}} [/mm] * [mm] \chi_{\overline{Q_{i}}} [/mm] $ mit $ [mm] \chi_{\overline{Q_{i}}} [/mm] $ paarweise disjunkt und $ [mm] \overline{c_{i}} \re [/mm] 0 $ für alle i . Es gilt dann $ [mm] \summe_{i=1}^{K} \overline{c_{i}} [/mm] * [mm] \chi_{\overline{Q_{i}(x)}} \re [/mm] 1 $ für alle $ x [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] \cap \IQ [/mm] $.
$ [mm] \Rightarrow \overline{c_{i}} [/mm] $ für alle i und
$ [mm] \chi_{[0,1]}(x) \le \summe_{i=1}^{K} \overline{c_{i}} [/mm] * [mm] \chi_{\overline{Q_{i}}(x)} [/mm] $ für alle $ x [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] \gap \IQ [/mm] $.
Setze
$ [mm] d_{i} [/mm] = 1 $ , dann gilt
$ [mm] \psi [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{K} \overline{d_{i}} [/mm] * [mm] \chi_{\overline{Q_{i}}} \le
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{K} \overline{c_{i}} [/mm] * [mm] \chi_{\overline{Q_{i}}} [/mm] $ für alle $ x [mm] \in \IR [/mm] $
Schränke $ [mm] \psi_{|[0,1]} [/mm] $ ein,
$ [mm] \Rightarrow \chi_{[0,1]} [/mm] = [mm] \psi_{|[0,1]} [/mm] $ für alle $ x [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] \gap \IQ [/mm] $.
Ab jetzt werde ich schwamig, deshalb bitte ich um eure Hilfe ob man das so machen kann.
Aus der Stetigkeit auf $ [0,1] [mm] \gap \IQ \Rightarrow [/mm]
[mm] \chi_[0,1] [/mm] = [mm] \psi_{|[0,1]} [/mm] $ für alle $ x [mm] \in [/mm] [0,1] $
Aus der Monotonie folgt
$ 1 = [mm] \integral{\chi_[0,1]} \le \integral{\phi}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \le \summe_{i=1}^{N} c_{i}*vol(Q_{i}) [/mm] $
Auch ein Problem ist noch , das die endlichkeit der Intervalle eingangs nicht eigegangen ist.
Vielen Dank
freshstyle
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Do 03.07.2008 | | Autor: | AndyK |
Hi,
eine Sache verstehe ich bei deinem Lösungsweg nicht.
Du definierst $ [mm] d_{i} [/mm] := 1\ [mm] \forall [/mm] i $ und $ [mm] \psi [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^{K} d_{i} \cdot \chi_{Q_{i}} [/mm] $ mit disjunkten $ [mm] Q_{i} [/mm] $ und behauptest $ [mm] \psi \le \phi [/mm] \ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] $.
Was ist aber, wenn ich $ [mm] Q_{1} [/mm] := [mm] ]-\infty,0[, Q_{2} [/mm] := [0,1], [mm] Q_{3} [/mm] := [mm] ]1,\infty[ [/mm] $ und $ [mm] c_{1} [/mm] := 0, [mm] c_{2} [/mm] := 1, [mm] c_{3} [/mm] := 0 $ setze? Dann ist mit diesen $ [mm] Q_{i} [/mm] $ und $ [mm] c_{i} [/mm] $ natürlich eine Treppenfunktion auf disjukten Intervallen gegeben und passt auch zu der Aufgabenstellung. Aber: $ [mm] \summe_{i=1}^{3} d_{i} \cdot \chi_{Q_{i}} \equiv [/mm] 1 [mm] \ge \summe_{i=1}^{3} c_{i} \cdot \chi_{Q_{i}} [/mm] $.
Gruß,
Andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Fr 04.07.2008 | | Autor: | freshstyle |
Hi,
danke das du mich darauf aufmerksam gemacht hast!
Da habe ich dann natürlich mist gemacht, ich hoffe das kann ich noch reparieren!
Ich glaube inteliegenter wäre das , wenn ich schreiben würde
$ [mm] \psi [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{K} d_{i} \dot \chi_{Q_{i} \cap [0,1]} [/mm] $
das würde sicherlich die gewünschte Relation ergeben von
$ [mm] \psi \le \phi \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] $
Sicherlich gilt dann auch das
$ [mm] \chi_{[0,1]} \le \psi \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1] [mm] \cap \IQ [/mm] $
Ich hoffe jetzt erstmal alles richtig gemacht zu haben.
Danke für eure mithilfe.
freshstyle
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Fr 04.07.2008 | | Autor: | AndyK |
Das Problem ist dann aber hier, dass für $ x [mm] \in [0,1]^C [/mm] $ das $ [mm] \psi [/mm] $ nicht definiert ist. 
Aber zu dem Rest:
Du sagst ja "aus der Stetigkeit von ... folgt...". Aber was ist denn stetig? Meinst du $ [mm] \psi [/mm] $ auf $ [0,1] $ ?
Ich denke es ist einfacher, wenn mal versuchst, aus den Voraussetzungen an die $ [mm] Q_i [/mm] $ und $ [mm] c_i [/mm] $ zu folgern, dass $ [mm] (\bigcup_{i=1}^{N} Q_i) \cap [/mm] [0,1] = [0,1] $ ist. Dann ist nämlich nach deiner Definition von $ [mm] \psi [/mm] $: $ [mm] \psi \equiv \chi_{[0,1]} [/mm] $, wenn du für $ x [mm] \in [0,1]^C [/mm] $ das $ [mm] \psi(x) [/mm] = 0 $ setzt.
(ich guck heute Abend wieder rein...)
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