Trennungssatz < Optimierung < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:06 Sa 20.01.2007 | | Autor: | sonnenfee23 |
| Aufgabe | beweisen Sie:
Sei y [mm] \in \IR^{k} [/mm] und K [mm] \subset \IR^{k} [/mm] abgeschlossen und konvex, dann gilt entweder y [mm] \in \IR^{k} [/mm] oder c [mm] \in \IR^{k} [/mm] mit [mm] c^{T}*y [/mm] < inf [mm] c^{T}*x [/mm] |
Hallo!
Ich finde viele Trennungssätze, aber die helfen mir einfach nicht weiter diesen Satz hier zu beweisen,... Kann mir da vielleicht jemand helfen??? Wäre sehr dankbar!!
MfG Susi
Habe diese Frage noch in keinem Foruem je gestellt!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 So 21.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Susi!
> beweisen Sie:
> Sei y [mm]\in \IR^{k}[/mm] und K [mm]\subset \IR^{k}[/mm] abgeschlossen und
> konvex, dann gilt entweder y [mm]\in \IR^{k}[/mm] oder c [mm]\in \IR^{k}[/mm]
> mit [mm]c^{T}*y[/mm] < inf [mm]c^{T}*x[/mm]
Die Aufgabenstellung ist kaputt; irgendwas stimmt am Ende nicht. Soll es etwa sowas heissen wie ``...entweder $y [mm] \in [/mm] K$ oder es gibt ein $c [mm] \in \IR^k$ [/mm] mit [mm] $c^T [/mm] y < [mm] \inf_{x \in K} c^T [/mm] x$''?
Und mal allgemein: was fuer Trennungssaetze hattet ihr denn so? (Fuer mich ist die (korrigierte) Aufgabenstellung das gerade die Aussage eines Trennungssatzes.)
LG Felix
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| Aufgabe | | Sei y [mm] \in \IR^k [/mm] und K [mm] \subset \IR^k [/mm] abgeschlossen und konvex, dann gilt entweder y [mm] \in [/mm] K oder c [mm] \in \IR^k [/mm] mit [mm] c^{T}y [/mm] < inf [mm] c^{T}x [/mm] |
Ja ich habe mich verschrieben es müsste...
Wir hatten nur den Strikten Trennungssatz, den ich oben hingeschrieben habe und diesen soll ich nun beweisen, aber ich habe keine Ahnung wie des gehen soll...
Würde mich um Hilfe sehr freuen!!
MfG Susi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Mo 22.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Susi!
> Sei y [mm]\in \IR^k[/mm] und K [mm]\subset \IR^k[/mm] abgeschlossen und
> konvex, dann gilt entweder y [mm]\in[/mm] K oder [mm]\exists c \in \IR^k[/mm] mit
> [mm]c^{T}y < inf_{x\in K} c^{T}x[/mm]
> Ja ich habe mich verschrieben es müsste...
>
> Wir hatten nur den Strikten Trennungssatz, den ich oben
> hingeschrieben habe und diesen soll ich nun beweisen, aber
> ich habe keine Ahnung wie des gehen soll...
Sprich, du suchst also nach einem Beweis fuer die obige Aussage?
Nimm doch einfach mal an, dass $y [mm] \not\in [/mm] K$ gilt. Du musst dann zeigen, dass es ein solches $c$ gibt. Erstmal kannst du ohne Eisschraenkung annehmen, dass $y = 0$ ist (siehst du warum?).
Dann betrachte die Abbildung $d : K [mm] \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto \| [/mm] x - y [mm] \|$. [/mm] (Etwa mit dem normalen euklidischen Abstand.) Du musst erstmal zeigen, dass diese Abbildung ein Minimum auf $K$ annimmt (wenn du $K$ mit einem abgeschlossenen Ball mit Radius $r$ gross genug um $y$ schneidest, so dass Punkte von $K$ in dem Ball enthalten sind, kannst du die Funktion auf der Schnittmenge betrachten, die nun kompakt ist).
Damit erhaelst du einen Punkt $c [mm] \in [/mm] K$ mit $d(c)$ minimal. Dies ist das gesuchte $c$; das musst du jetzt nur noch beweisen. Versuch es mal und wenn du es nicht schaffst, schreib wie weit du gekommen bist.
LG Felix
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ähm ja steh voll auf der Leitung und weiß gar nichts damit anzufangen*sry* aber dennoch danke für deine Bemühung!!!
MfG Susi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:20 Di 23.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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