Trennungseig. -> Vollständigk. < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige: Aus der Trennungseigenschaft folgt die Vollständigkeitseigenschaft (Jede Cauchy-Folge in [mm] \IR [/mm] hat einen Limes in [mm] \IR) [/mm] von [mm] \IR. [/mm] |
Hallo!
Wir haben einen Beweis dafür vorgelegt bekommen, ich verstehe allerdings eine Stelle nicht (bzw. ich kann sie nicht begründen).
Sei [mm] (a_{n}) [/mm] Cauchy-Folge. Dann ist [mm] (a_{n}) [/mm] beschränkt und die Mengen
$A := [mm] \left\{a\in\IR|a
$B := [mm] \left\{b\in\IR|b>a_{n} \mbox{ für fast alle }n\in\IN\right\}$
[/mm]
sind nicht leer. Dann ist $a < b$ für alle [mm] $a\in [/mm] A$ und [mm] $b\in [/mm] B$. Gemäß der Trennungseigenschaft gibt es ein [mm] $s\in\IR$ [/mm] mit [mm] $a\le s\le [/mm] b$ für alle [mm] $a\in [/mm] A, [mm] b\in [/mm] B$.
Bis hierhin verstehe ich es. Aber jetzt steht da:
Für beliebiges [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ muss dann für fast alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gelten: [mm] $|a_{n}-s|<\epsilon$, [/mm] d.h.: s ist Limes der Folge [mm] (a_{n}).
[/mm]
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Warum gilt: Für [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ muss dann für fast alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gelten: [mm] $|a_{n}-s|<\epsilon$ [/mm] ?
Ich weiß doch erstmal nur, dass [mm] $a\le s\le [/mm] b$ und $a < [mm] a_{n} [/mm] < b$ für fast alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] oder?
Danke für Eure Hilfe,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Do 12.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeige: Aus der Trennungseigenschaft folgt die
> Vollständigkeitseigenschaft (Jede Cauchy-Folge in [mm]\IR[/mm] hat
> einen Limes in [mm]\IR)[/mm] von [mm]\IR.[/mm]
> Hallo!
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> Wir haben einen Beweis dafür vorgelegt bekommen, ich
> verstehe allerdings eine Stelle nicht (bzw. ich kann sie
> nicht begründen).
>
> Sei [mm](a_{n})[/mm] Cauchy-Folge. Dann ist [mm](a_{n})[/mm] beschränkt und
> die Mengen
>
> [mm]A := \left\{a\in\IR|a
>
> [mm]B := \left\{b\in\IR|b>a_{n} \mbox{ für fast alle }n\in\IN\right\}[/mm]
>
> sind nicht leer. Dann ist [mm]a < b[/mm] für alle [mm]a\in A[/mm] und [mm]b\in B[/mm].
> Gemäß der Trennungseigenschaft gibt es ein [mm]s\in\IR[/mm] mit
> [mm]a\le s\le b[/mm] für alle [mm]a\in A, b\in B[/mm].
>
> Bis hierhin verstehe ich es. Aber jetzt steht da:
>
> Für beliebiges [mm]\epsilon > 0[/mm] muss dann für fast alle
> [mm]n\in\IN[/mm] gelten: [mm]|a_{n}-s|<\epsilon[/mm], d.h.: s ist Limes der
> Folge [mm](a_{n}).[/mm]
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> Warum gilt: Für [mm]\epsilon > 0[/mm] muss dann für fast alle
> [mm]n\in\IN[/mm] gelten: [mm]|a_{n}-s|<\epsilon[/mm] ?
> Ich weiß doch erstmal nur, dass [mm]a\le s\le b[/mm] und [mm]a < a_{n} < b[/mm]
> für fast alle [mm]n\in\IN[/mm], oder?
Ja. Es ist doch s = sup(A) = inf(B). Ist nun [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so ist
(1) [mm] s-\varepsilon [/mm] keine obere Schranke von A
und
(2) [mm] s+\varepsilon [/mm] keine untere Schranke von B
Aus (1) folgt: es gibt ein a [mm] \in [/mm] A mit [mm] s-\varepsilon [/mm] <a und aus (2) folgt: es gibt ein b [mm] \in [/mm] B mit b < [mm] s+\varepsilon.
[/mm]
Wegen a [mm]
(3) [mm] s-\varepsilon [/mm] < [mm] a_n [/mm] < [mm] s+\varepsilon [/mm] für fast alle n.
Aber (3) ist gleichbedeutend mit
[mm] |a_n-s| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für fast alle n.
FRED
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> Danke für Eure Hilfe,
> Stefan
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Vielen Dank für deine Antwort Fred!
Ich habe alles verstanden, nur ganz am Anfang bin ich mir noch nicht ganz sicher:
> > Warum gilt: Für [mm]\epsilon > 0[/mm] muss dann für fast alle
> > [mm]n\in\IN[/mm] gelten: [mm]|a_{n}-s|<\epsilon[/mm] ?
> > Ich weiß doch erstmal nur, dass [mm]a\le s\le b[/mm] und [mm]a < a_{n} < b[/mm]
> > für fast alle [mm]n\in\IN[/mm], oder?
> Ja. Es ist doch s = sup(A) = inf(B). Ist nun [mm]\varepsilon[/mm] >
> 0, so ist
Warum darf ich sagen, dass s genau das Supremum von A ist?
Mir ist völlig klar, dass wegen [mm] $a\le [/mm] s$ dann a eine obere Schranke von A ist.
Darf ich wegen der folgenden Begründung sagen, dass s die kleinste obere Schranke von A ist? :
Wäre es nicht die kleinste obere Schranke, dann wäre s entweder = [mm] a_{n} [/mm] oder größer als [mm] a_{n} [/mm] (Weil es sonst Element in A gäbe, die größer als s wären.
s > [mm] a_{n} [/mm] ist aber wegen s [mm] \le [/mm] b < [mm] a_{n} [/mm] nicht möglich, genauso wenig wie s = [mm] a_{n} [/mm] wegen [mm] a_{n} [/mm] = s [mm] \le [/mm] b < [mm] a_{n} [/mm] ?
Danke für Eure Hilfe und Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 14.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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