matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenKombinatorikTrefferverteilung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Kombinatorik" - Trefferverteilung
Trefferverteilung < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Kombinatorik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Trefferverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 So 16.09.2007
Autor: sowieso

Hi !

10 absolut treffsichere Jäger schießen gleichzeitig auf 10 Enten. Jeder Jäger sucht sich zufällig eine Ente aus. Wie viele Enten überleben im Mittel ?

Ich hab mir gedacht die Enten entsprechen Kugeln. Jeder Jäger zieht eine Kugel und legt sie danach wieder zurück.
Damit gibt es insgesamt [mm] 10^{10} [/mm] Kombinationen, wenn man unter den gezogenen Kugeln die Anordnung beachtet.

Nun will ich ausrechen, wie wahrscheinlich ist, dass sich alle Schüsse auf p Enten verteilen (Dann überleben ja 10-p Enten). Dazu will ich die Anzahl an Kombinationen, bei denen genau p Enten sterben durch [mm] 10^{10} [/mm] teilen.

Leider weiß ich nicht, wie ich die Anzahl an Kombinationen, bei denen genau p von 10 Enten sterben, ausrechnen kann...

Kann mir da jemand helfen ??


        
Bezug
Trefferverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:01 Mi 19.09.2007
Autor: luis52

Moin sowieso,

zunaecht einmal ein herzliches [willkommenmr]

Ich will die Aufgabe mal allgemein angehen. Es gibt $n$ Enten und $n$
Jaeger. Wie wahrscheinlich ist es, dass $k$ Enten ueberleben?

Es gibt [mm] $n^n$ [/mm] Moeglichkeiten, wie die Jaeger schiessen koennen.  Es
gibt ${n [mm] \choose [/mm] k}$ Moeglichkeiten, $k=0,1,2,...,n-1$ Enten
auszuwaehlen, die nicht getroffen werden.  Fuer jede Auswahl von $k$
Enten, die ueberleben, werden alle anderen abgeschossen.  Betrachte die
Menge $M$ der Jaeger und die Menge $N$ der Ungluecksenten.  Hier muss
man auszaehlen, auf wieviel Weisen die Ungluecksenten abgemurkst werden
koennen.  Diese Frage ist aequivalent mit der Frage der Anzahl der
surjektiven Abbildungen von $M$ nach $N$.  Das ist ziemlich tricky,
aber im Internet findet man eine Antwort, z.B. hier

[]http://www.mathematik.uni-marburg.de/~schmitt/dima/dm00s_v.pdf

Auf Seite 10 finde ich [mm] $(n-k)!S_{n,n-k}$, [/mm] wobei [mm] $S_{i,j}$ [/mm] eine
Stirlingsche Zahl 2. Art ist.  Mithin ist die gesuchte
Wahrscheinlichkeit

${n [mm] \choose k}\times(n-k)!S_{n,n-k}/n^n=\frac{n!}{k!n^n}S_{n,n-k}$ [/mm]

mit $k=0,1,...,n-1$. Fuer den Erwartungswert musst du

[mm] $\sum_{k=0}^{n-1}\frac{kn!}{k!n^n}S_{n,n-k}$ [/mm]

berechnen. Ich habe keine geschlossene Form hierfuer gefunden (vielleicht kann man mit Rekursionen etwas machen), berechne aber mit einem Computerprogramm fuer $n=10$ den Erwartungswert
3.487.

lgluis

PS: So etwas macht ihr im Mathe-LK? Respekt!        

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Kombinatorik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]