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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Sa 02.10.2010 | | Autor: | Sierra |
| Aufgabe | | Zu zeigen ist, dass die Transversalgeschwindigkeit [mm] v=\bruch{\beta*sin\alpha}{1-\beta*cos\alpha} [/mm] maximal wird, wenn [mm] \beta=cos\alpha [/mm] |
Hallo,
ich drehe mich bei dieser Aufgabe ein bisschen im Kreis.
Ich habe es zunächst mit einer Ableitung nach [mm] \beta [/mm] versucht, um diese dann gleich 0 zu setzen.
[mm] \bruch{dv}{d\beta} [/mm] = [mm] \bruch{sin\alpha(1-\beta*cos\alpha)+\beta*sin\alpha*cos\alpha}{(1-\beta*cos\alpha)^{2}} [/mm] = 0
<=> [mm] \bruch{sin\alpha}{(1-\beta*cos\alpha)^{2}} [/mm] = 0
Nun könnte ich sagen, dass [mm] \alpha=0 [/mm] sein muss, damit das gilt. Das wäre aber gleichbedeutend damit, dass [mm] cos\alpha=1 [/mm] und damit nach Bedingung auch [mm] \beta=1 [/mm] ist, sodass auch der Nenner 0 wird. Den Nenner widerrum könnte man vorher schon rausbekommen, da die andere Seite der Gleichung 0 ist.
Gleiches Problem ergibt sich für v. Zwar geht der Nenner gegen 0, womit v auf dem ersten Blick groß wird, allerdings ist der Zähler genauso 0. Ich denke nicht, dass es Sinn der Aufgabe ist, Grenzwerte zu untersuchen.
Ableitungen nach [mm] \alpha [/mm] bzw. [mm] cos\alpha [/mm] haben mir auch nicht mehr Informationen gegeben.
Wie kann das Problem anders gelöst werden?
Gruß Sierra
(Der Thread darf gerne verschoben werden, ich wusste nicht so recht wohin damit)
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Hallo Sierra,
> Zu zeigen ist, dass die Transversalgeschwindigkeit
> [mm]v=\bruch{\beta*sin\alpha}{1-\beta*cos\alpha}[/mm] maximal wird,
> wenn [mm]\beta=cos\alpha[/mm]
> Hallo,
>
> ich drehe mich bei dieser Aufgabe ein bisschen im Kreis.
Ach, daher die trigonometrischen Funktionen? 
> Ich habe es zunächst mit einer Ableitung nach [mm]\beta[/mm]
> versucht, um diese dann gleich 0 zu setzen.
Goldrichtige Idee! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> [mm]\bruch{dv}{d\beta}[/mm] =
> [mm]\bruch{sin\alpha(1-\beta*cos\alpha)+\beta*sin\alpha*cos\alpha}{(1-\beta*cos\alpha)^{2}}[/mm]
> = 0
Ähem. Fast gut. Der Zähler bedarf aber doch der Kontrolle und enthält zuviel [mm] \cos{\alpha}. [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Mit der richtigen Ableitung findest Du auch die richtige Lösung.
Ich schreib zum Rest trotzdem noch kurz was, auch wenns für die Aufgabe eigentlich nicht mehr relevant ist.
> <=> [mm]\bruch{sin\alpha}{(1-\beta*cos\alpha)^{2}}[/mm] = 0
> Nun könnte ich sagen, dass [mm]\alpha=0[/mm] sein muss, damit das
> gilt.
Du könntest auch gleich [mm] \alpha=k\pi [/mm] mit [mm] k\in\IZ [/mm] annehmen, dann hättest Du die vollständige Lösung.
> Das wäre aber gleichbedeutend damit, dass
> [mm]cos\alpha=1[/mm]
bzw. -1, s.o.
> und damit nach Bedingung auch [mm]\beta=1[/mm] ist,
> sodass auch der Nenner 0 wird.
Ist das wirklich praktisch, wenn auch der Nenner 0 wird? Mir sieht das eher nach einem zu untersuchenden Sonderfall aus und nicht nach dem Lösungsweg.
> Den Nenner widerrum könnte
Die neue Rechtschreibung ist oft flexibel, hier nicht: wiederum.
> man vorher schon rausbekommen, da die andere Seite der
> Gleichung 0 ist.
Der Sonderfall bleibt dann trotzdem zu untersuchen. Die Multiplikation einer ganzen Gleichung mit Null ist keine Äquivalenzumformung. Ansonsten: gute Idee.
> Gleiches Problem ergibt sich für v. Zwar geht der Nenner
> gegen 0, womit v auf dem ersten Blick groß wird,
> allerdings ist der Zähler genauso 0. Ich denke nicht, dass
> es Sinn der Aufgabe ist, Grenzwerte zu untersuchen.
Nö. Gesucht war nur eine Extremwertbetrachtung der Funktionenschar [mm] v_{\alpha}(\beta).
[/mm]
> Ableitungen nach [mm]\alpha[/mm] bzw. [mm]cos\alpha[/mm] haben mir auch nicht
> mehr Informationen gegeben.
Bloß gut, das wäre auch nur verwirrend geworden.
> Wie kann das Problem anders gelöst werden?
Keine Ahnung. Dein Weg war schon ok, Du bist nur nicht darauf geblieben.
> Gruß Sierra
Grüße
reverend
> (Der Thread darf gerne verschoben werden, ich wusste nicht
> so recht wohin damit)
(wüsste ich auch nicht besser. Hier liegt er gut, denke ich.)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:17 Sa 02.10.2010 | | Autor: | Sierra |
Hallo und danke erstmal für deine Antwort.
Ich sehe nur nicht, was an meiner Ableitung falsch sein soll, habe es auch eben mal in wolframalpha eingeben, der schmeißt die gleiche Ableitung raus.
Somit stehe ich ja eigentlich wieder beim gleichen Problem, wie zuvor.
Dennoch forme ich einfach mal anders um, damit die Äquivalenzumforung auch Gültigkeit hat:
[mm] \bruch{sin\alpha(1-\beta*cos\alpha)+\beta*sin\alpha*cos\alpha}{(1-\beta*cos\alpha)^{2}} [/mm] = 0
<=> [mm] sin\alpha(1-\beta*cos\alpha) [/mm] = [mm] \beta*sin\alpha*cos\alpha
[/mm]
=> [mm] sin\alpha [/mm] = 0
womit ich bei deinem Punkt wäre, dass [mm] \alpha [/mm] = [mm] k*\pi [/mm] und folglich [mm] cos\alpha=\pm [/mm] 1.
Nun habe ich aber nicht gezeigt, dass die Bedingung [mm] \beta=cos\alpha [/mm] zwingend notwendig ist...
Gruß Sierra
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> Hallo und danke erstmal für deine Antwort.
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> Ich sehe nur nicht, was an meiner Ableitung falsch sein
> soll,
Hallo,
sofern [mm] v=v(\beta), [/mm] ist sie richtig.
Nur: diese Funktion hat keine relativen Extrema, wie Du anhand eines Plots feststellen kannst.
An der Def.lücke geht die Funktion gegen [mm] \pm\infty.
[/mm]
Worum geht es denn genau?
(Gibt's eine Aufgabenstellung?)
Hängt v wirklich nur von [mm] \beta [/mm] ab? Sind [mm] \beta, \alpha [/mm] vielleicht Funktionen, die von einer anderen Variablen abhängen?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 So 03.10.2010 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
wovon v abhängig ist, ist nicht explizit angegeben... da es aber keine Extrema gibt, ist mein Ansatz ja ohnehin zum scheitern verurteilt.
Es geht um scheinbare Überlichtgeschwindigkeit, leider finde ich auch im Internet nichts, was mir für diese Aufgabe weiterhilft.
Gruß Sierra
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> Hallo,
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> wovon v abhängig ist, ist nicht explizit angegeben... da
> es aber keine Extrema gibt, ist mein Ansatz ja ohnehin zum
> scheitern verurteilt.
>
> Es geht um scheinbare Überlichtgeschwindigkeit, leider
> finde ich auch im Internet nichts, was mir für diese
> Aufgabe weiterhilft.
Hallo,
den Helfern würde es sicher weiterhelfen, wenn Du die Aufgabe mal mit allem Pipapo posten würdest.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 So 03.10.2010 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
ich kann nicht wirklich etwas ergänzen...
Es geht darum zu zeigen, dass es einen kritischen Winkel [mm] cos\alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] gibt, wo die Transversalgeschwindigkeit (bzw. scheinbare Überlichtgeschwindigkeit) einen maximalen Wert annimmt.
Kann die Ausgangsfrage nochmal als "offene Frage" gestellt werden, vielleicht hat ja jemand irgendeine Idee .. ?
gruß Sierra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 So 03.10.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
betrachte die Funktion [mm] v=\bruch{\beta\cdot{}sin\alpha}{1-\beta\cdot{}cos\alpha} [/mm] als eine Funktion von [mm] \alpha [/mm] mit einem Parameter [mm] \beta, [/mm] also
[mm] v_{\beta}(\alpha)=\bruch{\beta\cdot{}sin\alpha}{1-\beta\cdot{}cos\alpha} [/mm] und berechne [mm] \bruch{d}{d\alpha}v_{\beta}(\alpha)
[/mm]
Für [mm] \bruch{d}{d\alpha}v_{\beta}(\alpha)=0 [/mm] erhält man die Lösungen [mm] \alpha=arccos(\beta) [/mm] und [mm] \alpha=-arccos(\beta)
[/mm]
Nun berechne [mm] \bruch{d^2}{d\alpha^2}v_{\beta}(\alpha) [/mm] und zeige, [mm] \bruch{d^2}{d\alpha^2}v_{\beta}(\alpha)<0 [/mm] für [mm] \alpha=arccos(\beta) [/mm] und [mm] \bruch{d^2}{d\alpha^2}v_{\beta}(\alpha)>0 [/mm] für [mm] \alpha=-arccos(\beta)
[/mm]
Das Maximum berechnet sich dann zu [mm] v_{Max}=\bruch{\beta}{\wurzel{1-\beta^2}}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 So 03.10.2010 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
eigentlich hatte ich die Funktion schon mal in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] betrachtet und bin damit nicht hingekommen.
Auf deinen Tipp hin habe ich das nochmal durchgerechnet und bin nun dahin gekommen, wo ich hin wollte :) scheinbar hatte ich mich vorher verrechnet...
Ich danke dir
Gruß Sierra
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