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Transversal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 So 06.11.2011
Autor: Palonina

Aufgabe
Es seien U, W Teilräume des Vektorraumes V. Man sagt, W sei transversal zu U, wenn [mm]U \cap W = \{0\}[/mm]. Zeige:
W ist genau dann transversal zu U, wenn jeder Vektor v aus U+W nur eine Darstellung der Form v = u + w mit u[mm]\in[/mm]U, w[mm]\in[/mm]W besitzt.


Hallo und guten Abend,

die Rückrichtung des Beweises bekomme ich (glaube ich) einigermaßen hin.

Sei v [mm]\in U \cap W[/mm], die Schnittmenge ist wegen des Kriteriums für Teilräume nicht  leer. Dann ist sowohl v = v + 0 und v = 0 + v und wegen der geforderten Eindeutigkeit der Darstellung muss v = 0 gelten.

Ist das so ok?

Bei der Hinrichtung hänge ich aber.

Gruß,
Palonina



        
Bezug
Transversal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 So 06.11.2011
Autor: tobit09

Hallo Palonina,

> Sei v [mm]\in U \cap W[/mm], die Schnittmenge ist wegen des
> Kriteriums für Teilräume nicht  leer. Dann ist sowohl v =
> v + 0 und v = 0 + v und wegen der geforderten Eindeutigkeit
> der Darstellung muss v = 0 gelten.
>  
> Ist das so ok?

Ja! [ok]

> Bei der Hinrichtung hänge ich aber.

Sei [mm] $v\in [/mm] U+W$ mit Darstellungen $v=u+w$ und $v=u'+w'$ für gewisse [mm] $u,u'\in [/mm] U$ und [mm] $w,w'\in [/mm] W$. Zu zeigen ist $u=u'$ und $w=w'$.

Es gilt wegen $u+w=v=u'+w'$ auch $u-u'=w'-w$...

Kommst du damit schon weiter?

Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Transversal: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 So 06.11.2011
Autor: Palonina


Hallo Tobias,

mhm, ich bin mir noch nicht ganz sicher...

Es läuft darauf hinaus, dass wegen [mm] U \cap W = \{0\} [/mm] gelten muss [mm] u-u'=w'-w = 0[/mm], also u=u' und w=w' und damit eine eindeutige Darstellung.

Aber mir fehlt dann die Argumentation, warum u-u' und w-w im Durchschnitt liegen.


Bezug
                        
Bezug
Transversal: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:03 So 06.11.2011
Autor: tobit09


> Es läuft darauf hinaus, dass wegen [mm]U \cap W = \{0\}[/mm] gelten
> muss [mm]u-u'=w'-w = 0[/mm], also u=u' und w=w' und damit eine
> eindeutige Darstellung.

[ok] Genau!

> Aber mir fehlt dann die Argumentation, warum u-u' und w-w
> im Durchschnitt liegen.

Es gilt [mm] $u-u'\in [/mm] U$ (denn [mm] $u'\in U\Rightarrow-u'\in U\Rightarrow u+(-u')\in [/mm] U$) und analog [mm] $w'-w\in [/mm] W$.

Da auch [mm] $u-u'=w'-w\in [/mm] W$ gilt, folgt [mm] $u-u'\in U\cap [/mm] W$ und damit auch [mm] $w'-w=u-u'\in U\cap [/mm] W$.

Bezug
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