Transportgleichung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Do 22.01.2009 | | Autor: | crashby |
| Aufgabe | Lösen Sie die Transportgleichung
$ [mm] u_t+a(x)u_x=0, a(x)\not [/mm] =0 $
$ [mm] u(x,t)=T(t)\cdot X(x)=T\cdot [/mm] X $
Separationsansatz:
$ [mm] T'X+a(x)\cdot [/mm] TX'=0 $
$ [mm] T'X=-a(x)\cdot [/mm] TX' $
$ [mm] \frac{T'}{T}=-a(x)\cdot \frac{X'}{X}$
[/mm]
nun hängt die linke Seite nur von t und die rechte von X ab
das DGL system lautet somit:
$ [mm] T'=\lambda \cdot [/mm] T $
$ [mm] X'=-\frac{x\cdot \lambda}{a(x)} [/mm] $
ich bin mir bei dem a(x) nicht sichr
wäre cool, wenn mal einer rüber schauen koennte.
danke
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Hallo crashby,
> Lösen Sie die Transportgleichung
>
> [mm]u_t+a(x)u_x=0, a(x)\not =0[/mm]
>
> [mm]u(x,t)=T(t)\cdot X(x)=T\cdot X[/mm]
>
> Separationsansatz:
>
>
> [mm]T'X+a(x)\cdot TX'=0[/mm]
>
> [mm]T'X=-a(x)\cdot TX'[/mm]
>
> [mm]\frac{T'}{T}=-a(x)\cdot \frac{X'}{X}[/mm]
>
> nun hängt die linke Seite nur von t und die rechte von X ab
>
> das DGL system lautet somit:
>
> [mm]T'=\lambda \cdot T[/mm]
> [mm]X'=-\frac{x\cdot \lambda}{a(x)}[/mm]
Das sieht gut aus.
Kleine Korrektur: [mm]X'=-\frac{\blue{X}\cdot \lambda}{a(x)}[/mm]
>
> ich bin mir bei dem a(x) nicht sichr
>
> wäre cool, wenn mal einer rüber schauen koennte.
>
> danke
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Do 22.01.2009 | | Autor: | crashby |
Hallo, ist das die ganze Lösung der Aufgabe oder was muss ich jetzt noch machen ?
lg
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Hallo,
> Hallo, ist das die ganze Lösung der Aufgabe oder was muss
> ich jetzt noch machen ?
>
> lg
Jetzt musst Du deine beiden DGL noch lösen. Z. B.:
[mm] $\bruch{T'}{T}=\lambda$
[/mm]
[mm] $\integral\bruch{1}{T(t)}\;dT=\integral\lambda\;dt$
[/mm]
[mm] $ln|T|=\lambda*t+ln|C|$
[/mm]
[mm] $T(t)=C*e^{\lambda*t}$
[/mm]
Für X(x) ebenso lösen, dann die beiden Funktionen miteinander multiplizieren.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 So 25.01.2009 | | Autor: | crashby |
Hallo vielen Dank erstmal für die Tipps.
$ [mm] X'=-\frac{X\cdot \lambda}{a(x)} [/mm] $
das hab ich so umgeformt und dan TdV benutzt
[mm] $\frac{a(x)X'}{X}=\lambda [/mm] $
[mm] $\int \frac{a(x)}{x}\; dx=\int \lambda\; [/mm] dx $
habe für die zweite das raus:
$ [mm] X=c\cdot e^{\frac{\lambda \cdot x}{a(x)}} [/mm] $
stimmt das ?
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Hallo,
> Hallo vielen Dank erstmal für die Tipps.
> [mm]X'=-\frac{X\cdot \lambda}{a(x)}[/mm]
>
> das hab ich so umgeformt und dan TdV benutzt
>
> [mm]\frac{a(x)X'}{X}=\lambda[/mm]
>
> [mm]\int \frac{a(x)}{x}\; dx=\int \lambda\; dx[/mm]
> habe für die
> zweite das raus:
>
> [mm]X=c\cdot e^{\frac{\lambda \cdot x}{a(x)}}[/mm]
>
> stimmt das ?
Ich fürchte nicht. TdV ist aber der richtige Weg.
[mm]\frac{a(x)X'}{X}=-\lambda[/mm]
Nun müsstest Du nach abhängiger und unabhängiger Variable trennen. Die unabhängige ist x, die abhängige X (also X(x)).
[mm] $\bruch{1}{X}\;dX [/mm] = [mm] -\lambda*\bruch{1}{a(x)}\;dx$
[/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mo 26.01.2009 | | Autor: | crashby |
Hey, okay a(x) ist ja ungleich 0 also kann ich vor das Integral ziehen.
Nun hab ich das raus:
$ [mm] X=e^{-\frac{\lambda x}{a(x)}+C}=e^{-\frac{\lambda x}{a(x)}}\cdot e^C [/mm] $
Ich muss ja dann noch das Produkt T(t)*X(x) bilden um die Lösung der partiellen DGL zu bestimmen. Habe ich dann 2 Konstansten also [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] ?
Danke für die Hilfe
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Hallo crasby,
> Hey, okay a(x) ist ja ungleich 0 also kann ich vor das
> Integral ziehen.
Nein. a(x) ist eine Funktion von x, der unabhängigen Variablen, und muss integriert werden. Wie a(x) schon sagt.
> Nun hab ich das raus:
>
> [mm]X=e^{-\frac{\lambda x}{a(x)}+C}=e^{-\frac{\lambda x}{a(x)}}\cdot e^C[/mm]
>
> Ich muss ja dann noch das Produkt T(t)*X(x) bilden um die
> Lösung der partiellen DGL zu bestimmen. Habe ich dann 2
> Konstansten also [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] ?
>
LG, Martinius
> Danke für die Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mo 26.01.2009 | | Autor: | crashby |
Hallo nagut da hab ich was vertauscht :)
$ [mm] \int \frac{1}{x} \;dx=-\lambda \int \frac{1}{a(x)}\;dx [/mm] $
$ => [mm] ln|X|=-\lambda\cdot [/mm] ln|a(x)| $
mit $ [mm] -\lambda\cdot [/mm] ln|a(x)| <=> [mm] ln|a(x)|^{-\lambda} [/mm] $ folgt dann
$ [mm] X=c\cdot a(x)^{-\lambda} [/mm] $
und nun $ [mm] u(x,t)=T(t)\cdot [/mm] X(x)=... $ ?
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Hallo Crashby,
> Hallo nagut da hab ich was vertauscht :)
>
> [mm]\int \frac{1}{x} \;dx=-\lambda \int \frac{1}{a(x)}\;dx[/mm]
>
> [mm]=> ln|X|=-\lambda\cdot ln|a(x)|[/mm]
Das würde nur gelten, wenn a(x)=x, oder a(x)=x+b.
Was wäre, wenn [mm] a(x)=(ax^3+bx^2+cx+d)^5 [/mm] , oder a(x)=arccos(x), oder vielleicht eine elementar gar nicht integrierbare Funktion wäre, wie z. B. [mm] a(x)=e^{x^2} [/mm] ?
Da keine weiteren Informationen über a(x) vorliegen, muss man - bis auf weiteres - schreiben:
[mm] $ln|X|=-\lambda*\integral \bruch{1}{a(x)}dx [/mm] + [mm] \tilde [/mm] C$
[mm] $X(x)=C*e^{-\lambda\integral \bruch{1}{a(x)}dx}$
[/mm]
> mit [mm]-\lambda\cdot ln|a(x)| <=> ln|a(x)|^{-\lambda}[/mm] folgt
> dann
>
> [mm]X=c\cdot a(x)^{-\lambda}[/mm]
>
> und nun [mm]u(x,t)=T(t)\cdot X(x)=...[/mm] ?
Und nun darfst Du multiplizieren...
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Di 27.01.2009 | | Autor: | crashby |
Hey danke für die hilfe habe wieder was dazu gelernt :)
lg
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