Transitivität einer Relation < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Olli1968 |
Hallo liebe Mathefreunde,
ich habe dies in keinem anderen Forum gepostet. Ich benötige mal eure Hilfe.
Ich bin gerade dabei eine kleine Übung zum Thema Eigenschaften von Relationen zu bearbeiten. Gegeben war die Menge [mm]A=\{1,2\}[/mm].
Man sollte alle Relationen [mm]R[/mm] auf A angeben und anschl. schauen, welche davon (i)reflexiv, (ii)symmetrisch, (iii)transitiv sind.
Auf A bedeutet [mm]R\subseteq A \times A = \{(x,y)|x \in A \wedge y \in A\}[/mm].
Mit (i) und (ii) kam ich klar. Probleme habe ich mit (iii) und zwar bei folgenden Relationen
[mm]R_{8}=\{(1,1),(2,2)\}[/mm]; [mm]R_{12}=\{(1,1),(1,2),(2,2)\}[/mm] und [mm]R_{14}=\{(1,1),(2,1),(2,1)\}[/mm].
transitiv [mm]\gdw (x,y) \in R \wedge (y,z) \in R \Rightarrow (x,z) \in R , \forall x,y,z \in A[/mm]
Nehmen wir zum Beispiel die Ralation [mm]R_{8}=\{(1,1),(2,2)\}[/mm].
transitiv bedeutet dann für mich u.a. das:
[mm] (1,1) \in R_{8}[/mm] und [mm] (2,2) \in R_{8} \Rightarrow (1,2) \in R_{8} [/mm]. (oder ?)
So! Aber [mm](1,2) \not\in R_{8}[/mm] also ist [mm]R_{8}[/mm] nicht transitiv - oder?!
Im Buch heißt es aber, [mm]R_{8}[/mm] wäre transitiv
Laut Lösung sollte nämlich auch [mm]R_{8}, R_{14}[/mm] transitiv sein und [mm]R_{12}[/mm] nicht (was mir einleuchtet, wenn [mm] (2,1) \in R_{12}[/mm] und [mm] (1,2) \in R_{12} \Rightarrow (2,2) \in R_{12} [/mm], welches aber nicht in [mm]R_{12}[/mm] enthalten ist).
Oder wo liegt mein Gedankenfehler?
Vielen Dank
Olli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Sa 12.12.2015 | | Autor: | Olli1968 |
Ich glaube ich weiss jetzt wo mein Gedankenfehler liegt:
transitiv [mm]\gdw (x,y) \in R \wedge (y.z) \in R \Rightarrow (x,z) \in R[/mm]
Hier muss der y-Wert jeweils gleich sein. Demnach ist [mm]R_{8}[/mm] transitiv, da [mm](1,1) \in R_{8} \wedge (2,2) \in R_{8}[/mm] gar nicht geht, da die "y"-Werte nicht übereinstimmen!
[mm]R_{12}[/mm] ist dann aber nicht transitiv, da mit [mm](2,1) \in R_{12} \wedge (1,2) \in R_{12} \Rightarrow (2,2) \in R_{12}[/mm] das aber nicht in [mm]R_{12}=\{(1,1), (1,2), (2,1)\} [/mm] enthalten ist.
Stimmt das nun so?
Danke
Olli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Sa 12.12.2015 | | Autor: | statler |
Hallo Olli,
es stimmt, was du schon selbst gemerkt hast: [mm] R_8 [/mm] ist transitiv! [mm] R_8 [/mm] ist nämlich die Gleichheitsrelation, das ist die Äquivalenzrelation mit den meisten Äquivalenzklassen.
Bei der Transitivität überprüfst du eine 'wenn-dann'-Aussage, die jedenfalls dann wahr ist, wenn die Voraussetzung nicht erfüllt ist. Bei der Symmetrie ist es auch so, bei der Reflexivität nicht.
Gruß aus HH
Dieter
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