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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Do 08.12.2005 | | Autor: | R4ph43l |
Hallo,
ich habe folgendes Problem:
Es solle die Kommutativität der Faltung f*g gezeigt werden, welches mit dem Transformationssatz und der Transformation y [mm] \mapsto [/mm] x-y einfach gezeigt werden kann.
Mein erster naiver Ansatz war jedoch die Substitutionsregel, da ich fälschlicherweise die Funktionen f und g als Funktionen [mm] \IR\to\IR [/mm] betrachtet habe, wobei jedoch das Ergebnis immer f*g = -g*f heraus kam. Schließlich ist für die Substition w := x-y [mm] \Rightarrow [/mm] y = x-w [mm] \Rightarrow [/mm] dy = -1dw und damit f*g = [mm] \integral_{\IR}{f(x-y)g(y) dy} [/mm] = [mm] \integral_{\IR}{ -f(w)g(x-w) dw} [/mm] = -g*f
Mit dem Transformationssatz und der Transformation [mm] {\tau:\IR\to\IR, (y)\mapsto(x-y)\Rightarrow D\tau(y)=-1\Rightarrow |\det D\tau(y)|=1}, [/mm] gilt aber f*g = [mm] \integral_{\IR}{f(x-y)g(y) dy} [/mm] = [mm] \integral_{\IR}{f(x-\tau(y))g(\tau(y))|\det D\tau| dy} [/mm] = [mm] \integral_{\IR}{ f(y)g(x-y) dy} [/mm] = g*f
Nun liegt die Frage nahe, wieso im 1-dimensionalen Fall für die Substitutionsregel und den Transformationssatz unterschiedliche Ergebnisse heraus kommen, wenn aber der Transformationssatz lediglich eine Verallgemeinerung für höherdimensionale Integrale darstellt (also der Fall dim = 1 nicht ausgeschlossen ist). Wo liegt hier bitte der Hund begraben, habe ich eventuell einfach nur einen grundlegenden Fehler gemacht?
Für jede Antwort bin ich sehr dankbar.
PS: Diese Frage wurde in keinem anderen Forum gestellt.
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Die Sache ist die: Das eindimensionale Integral im üblichen Sinne ist orientiert, d.h. beim Vertauschen der Integrationsgrenzen ändert sich das Vorzeichen. Das mehrdimensionale Bereichsintegral ist dagegen nichtorientiert. Wenn du das eindimensionale Integral als Sonderfall des mehrdimensionalen auffaßt, ist es also ein nichtorientiertes Integral.
Beispiel: [mm]f(x) = x^2 \, , \ \ x \in [2,5][/mm]
[mm]\int_2^5~x^2~\mathrm{d}x = 39[/mm]
Wir substituieren [mm]x = -t \, , \ \mathrm{d}x = - \mathrm{d}t[/mm].
Fall 1: übliche Auffassung als orientiertes Integral
Gemäß Substitutionsregel sind auch die Integrationsgrenzen zu substituieren.
[mm]\int_2^5~x^2~\mathrm{d}x = \int_{-2}^{-5}~(-t)^2 \cdot (-1)~\mathrm{d}t = - \int_{-2}^{-5}~t^2~\mathrm{d}t = \int_{-5}^{-2}~t^2~\mathrm{d}t[/mm]
Und auch das letzte Integral hat den Wert 39.
Fall 2: Auffassung als nichtorientiertes Integral (Bereichsintegral)
[mm]\int_{[2,5]}~x^2~\mathrm{d}x = 39[/mm]
Die Substitution [mm]x = -t[/mm] hat die Funktionaldeterminante -1. Ihr Betrag ist also 1. Der Bereich (hier ein Intervall) [mm][2,5][/mm] wird durch die Substitution auf den Bereich [mm][-5,-2][/mm] abgebildet.
[mm]\int_{[2,5]}~x^2~\mathrm{d}x = \int_{[-5,-2]}~(-t)^2 \cdot 1 ~\mathrm{d}t = \int_{-5}^{-2}~t^2~\mathrm{d}t[/mm]
Wieder ergibt sich als Wert 39.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:58 Do 08.12.2005 | | Autor: | R4ph43l |
Vielen Dank!
Dann lag es also einfach daran dass ich beim Integrieren über [mm] \IR [/mm] einfach die Integrationsgrenzen nicht beachtet hab. Wenn ich statt über [mm] \IR [/mm] über das Intervall [mm] (-\infty,\infty) [/mm] integriere und die Grenzen entsprechend der Substitution ändere stimmt das Ganze wieder. Sprich die Substitutionsregel kann nicht einfach so auf die Integration über ganz [mm] \IR [/mm] genutzt werden.
Bei der Transformationsformel dagegen ist diese "Substitution" des Integralbereichs nicht notwendig (und ja sogar unmöglich für den Fall dass statt [mm] \IR^n [/mm] ein anderer Raum X betrachtet wird), da [mm] \IR^n [/mm] für n=1 als nicht orientierter Raum betrachtet wird. Schließlich ist für alle Fälle n>1 ohne eine zusätzliche Norm keine Relation < definiert und damit das "Pseudointervall" (-x,x) äquivalent zu (x,-x).
Ich hoffe dass diese Interpretation konsistent ist zur Theorie die dahinter steckt :)
Danke nochmals für die schnelle Aufklärung!
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