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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
So, hier nun die letzte Klausuraufgabe, mit der ich mich noch etwas näher beschäftigen wollte. 
Berechnen Sie das Integral
[mm] \integral_{K}e^{-(x_1x_2)^2}\;dx
[/mm]
wobei [mm] K=\{x=(x_1x_2)\in\IR^2, x_1\ge 0, x_2\ge 0, 1\le\bruch{x_1}{x_2}\le 2\}.
[/mm]
Vorschlag: Verwenden Sie die Transformation [mm] (r,t)\mapsto(re^t,re^{-t})=(x_1,x_2). [/mm] Bestimmen Sie zunächst die Menge [mm] M=\{(r,t)\}, [/mm] so dass diese Transformation eine Bijektion ist. Wenden Sie dann den Transformationssatz an.
Also erstmal wusste ich nicht, warum die Transformation bijektiv sein soll (gilt der Transformationssatz nur für bijektive Abbildungen?), und dann wusste ich auch nicht, wie ich denn M nun bestimmen soll. Ich habe glaube ich [mm] M=\IR^2 [/mm] hingeschrieben, weil mir nichts anderes einfiel. Könnte mir da vielleicht jemand sagen, was da richtig wäre und wie man darauf kommt?
Dann habe ich das halt einfach mal so hingenommen und mit dem Transformationssatz rumprobiert:
es ist ja [mm] K=\Psi(M), [/mm] mit [mm] \Psi [/mm] der obigen Transformation
[mm] det\Psi'(r,t)=-2r
[/mm]
woher weiß ich nun, ob r positiv oder negativ ist? Hat das vielleicht etwas mit der Bestimmung der Menge M zu tun? Ich habe glaube ich 2r als Betrag der Determinante genommen...
dann gilt nach dem Transformationssatz:
[mm] \integral_{K}e^{-(x_1x_2)^2}\;dx [/mm] = [mm] \integral_{M}e^{-(re^tre^{-t})^2}*2r\;dr\;dt [/mm] = [mm] \integral_{M}e^{-r^4}*2r\;dr\;dt [/mm] = [mm] \integral_{\IR}\integral_{\IR}e^{-r^4}*2r\;dr\;dt [/mm]
Und dann müsste man das halt noch weiter berechnen. Vielleicht mache ich das noch, wenn mir jemand sagt, ob das so in Ordnung ist bisher, bzw. wie das M denn wirklich gewählt werden muss.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
wenn sich niemand sonst meldet, werde ich mich heut Abend mit einer Antwort versuchen! Ich hoffe, dass das niemand sonst machen wird, denn ich will das etwas bildlich machen, was ja, wie du mal gesagt hast, deiner Denkweise entgegenkommt. Leider habe ich wirklich erst am Abend Zeit dazu.
Mit lieben Grüssen
Paul
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> Hallo!
> So, hier nun die letzte Klausuraufgabe, mit der ich mich
> noch etwas näher beschäftigen wollte.
>
> Berechnen Sie das Integral
>
> [mm]\integral_{K}e^{-(x_1x_2)^2}\;dx[/mm]
>
> wobei [mm]K=\{x=(x_1x_2)\in\IR^2, x_1\ge 0, x_2\ge 0, 1\le\bruch{x_1}{x_2}\le 2\}.[/mm]
>
> Vorschlag: Verwenden Sie die Transformation
> [mm](r,t)\mapsto(re^t,re^{-t})=(x_1,x_2).[/mm] Bestimmen Sie
> zunächst die Menge [mm]M=\{(r,t)\},[/mm] so dass diese
> Transformation eine Bijektion ist. Wenden Sie dann den
> Transformationssatz an.
>
> Also erstmal wusste ich nicht, warum die Transformation
> bijektiv sein soll (gilt der Transformationssatz nur für
> bijektive Abbildungen?)
bei Überlappungen müßte man Fallunterscheidungen machen, bzw. das Integral geeignet aufspalten.
> und dann wusste ich auch nicht,
> wie ich denn M nun bestimmen soll. Ich habe glaube ich
> [mm]M=\IR^2[/mm] hingeschrieben, weil mir nichts anderes einfiel.
> Könnte mir da vielleicht jemand sagen, was da richtig wäre
> und wie man darauf kommt?
>
Mit der vorgeschlagenen Substitution ergibt sich doch aus [mm]1\le\bruch{x_1}{x_2}\le 2\}[/mm] die Bedingung $1 [mm] \le [/mm] exp(2t) [mm] \le [/mm] 2$ bzw. $0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le \bruch{ln(2)}{2}$. [/mm] Da [mm] $x_2$ [/mm] nach oben nicht beschränkt ist, t aber schon, muss r auch unbeschränkt bleiben und aus [mm] $x_i \ge [/mm] 0$ folgt $r [mm] \ge [/mm] 0$.
> Dann habe ich das halt einfach mal so hingenommen und mit
> dem Transformationssatz rumprobiert:
>
> es ist ja [mm]K=\Psi(M),[/mm] mit [mm]\Psi[/mm] der obigen Transformation
> [mm]det\Psi'(r,t)=-2r[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> woher weiß ich nun, ob r positiv oder negativ ist? Hat das
> vielleicht etwas mit der Bestimmung der Menge M zu tun?
Jo, siehe oben.
> Ich habe glaube ich 2r als Betrag der Determinante genommen...
>
> dann gilt nach dem Transformationssatz:
> [mm]\integral_{K}e^{-(x_1x_2)^2}\;dx[/mm] =
> [mm]\integral_{M}e^{-(re^tre^{-t})^2}*2r\;dr\;dt[/mm] =
> [mm]\integral_{M}e^{-r^4}*2r\;dr\;dt[/mm] =
> [mm]\integral_{\IR}\integral_{\IR}e^{-r^4}*2r\;dr\;dt[/mm]
>
bis auf die Grenzen: . Wenn Du für t über [mm] $\IR$ [/mm] integrieren würdest, würde es "krachen".
> Und dann müsste man das halt noch weiter berechnen.
> Vielleicht mache ich das noch, wenn mir jemand sagt, ob das
> so in Ordnung ist bisher, bzw. wie das M denn wirklich
> gewählt werden muss.
>
zur Kontrolle:
[mm]\integral_{0}^{\bruch{ln(2)}{2}}{\integral_{0}^{\infty}{e^{-r^4}*2r}\;dr}\;dt=\integral_{0}^{\bruch{ln(2)}{2}}\bruch{\wurzel{\pi}}{2}\;dt=\bruch{\wurzel{\pi}}{4}ln(2)[/mm]
> Viele Grüße
> Bastiane
>
>
Groetjes,
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallöle,
Paulus scheint ja noch nicht dazu gekommen zu sein, Dir eine Skizze zur Aufgabe anzufertigen. Da ich viel Zeit habe, habe ich mal kurz Mathematica angeschmissen, um Dir das da:
[Dateianhang nicht öffentlich]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
zeichnen zu lassen.
Es handelt sich dabei um den Bereich K und darüber die Funktion $e^{-(x_1 \cdot x_2)^2$. Wie Du siehst, geht die Funktion mit wachsenden $x_i$ hurtig gegen 0. Der skizzierte Bereich weicht von dem genauen Wert nur noch um 0.065% ab.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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