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| Aufgabe | Ich habe 2 geordnete Basen ( = oBasen) des [mm] R^3 [/mm] mit
A = [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 }\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 } \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] und
A' = [mm] \pmat{ 2 \\ 0 \\ 1 } \pmat{ 0 \\ 2 \\ 3 } \pmat{1 \\ 3 \\ 1}.
[/mm]
Dazu 2 oBasen des [mm] R^2 [/mm] mit B = [mm] \pmat{ 1 \\ 0 } \pmat{ 0 \\ 1 } [/mm] und B' = [mm] \pmat{ 2 \\ 3 } \pmat{3 \\ 2 }
[/mm]
Sei außerdem ein Homomorphismus [mm] \gamma [/mm] gegeben mit B [mm] \gamma [/mm] A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0\\ 5 & 3 & 2 }. \gamma [/mm] beschreibt also die Transformationsmatrix von A nach B.
Meine Aufgabe ist es nun B' [mm] \gamma [/mm] A' zu bestimmen.
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Das prinzipielle Vorgehen ist mir klar. Was ich nicht verstehe, ist das laut der Musterlösung die Basis A' von [mm] R^3 [/mm] auch gleichzeitig die Transformationsmatrix A [mm] \gamma [/mm] A' sein soll.
Kann man allgemein sagen, dass jede oBasis (außer der Standardbasis) auch gleichzeitig die Transformationsmatrix zur Standardbasis ist ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ich habe 2 geordnete Basen ( = oBasen) des [mm]R^3[/mm] mit
> A = [mm]\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 }\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 } \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> und
> A' = [mm]\pmat{ 2 \\ 0 \\ 1 } \pmat{ 0 \\ 2 \\ 3 } \pmat{1 \\ 3 \\ 1}.[/mm]
Hallo,
A ist also die kanonische Einheitsbasis des [mm] \IR^3,
[/mm]
>
> Dazu 2 oBasen des [mm]R^2[/mm] mit B = [mm]\pmat{ 1 \\ 0 } \pmat{ 0 \\ 1 }[/mm]
> und B' = [mm]\pmat{ 2 \\ 3 } \pmat{3 \\ 2 }[/mm]
und B die des [mm] \IR^2.
[/mm]
>
> Sei außerdem ein Homomorphismus [mm]\gamma[/mm] gegeben mit B [mm]\gamma[/mm]
> A = [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0\\ 5 & 3 & 2 }. \gamma[/mm] beschreibt also
> die Transformationsmatrix von A nach B.
Du hast einen Homomorphismus [mm] \gamma: \IR^3 \to \IR^2,
[/mm]
welcher bezüglich der Standardbasen A und B beschrieben wird durch die Matrix
[mm] M_{AB}(\gamma)=\pmat{ 2 & 1 & 0\\ 5 & 3 & 2 }.
[/mm]
Die Bezeichnungen variieren ja sehr.
Was mir wichtig ist: [mm] M_{AB}(\gamma) [/mm] ist keine Transformationsmatrix. Es ist die Matrix der Abbildung [mm] \gamma [/mm] bzgl. der Baseb A und B.
Transformationsmatrizen sind solche Matrizen, welche eine Basis in eine andere umformen.
Und solche Matrizen benötigst Du im weiteren Verlauf der Aufgabe.
> Meine Aufgabe ist es nun B' [mm]\gamma[/mm] A' zu bestimmen.
Gesucht ist nun die darstellende Matrix von [mm] \gamma [/mm] bzgl der Basen A' und B'.
Die Matrix [mm] M_{AB}(\gamma)=\pmat{ 2 & 1 & 0\\ 5 & 3 & 2 } [/mm] ist so gemacht, daß man Vektoren in Koordinaten bzgl A hineinsteckt, und Vektoren in Koordinaten bzgl B herausbekommt.
Um [mm] M_{A'B'}(\gamma) [/mm] zu erhalten,
brauchst Du zunächst die Transformationsmatrix [mm] T_{A'A}, [/mm] welche Dir Vektoren, die bzgl. A' gegeben sind in solche bzgl. A umwandelt,
und zum Schluß [mm] T_{BB'}, [/mm] welche Dir Vektoren in Koordinaten bzgl B in solche bzgl B' umwandelt.
> Das prinzipielle Vorgehen ist mir klar.
Dann habe ich Dir bishierher nichts Neues erzählt. Macht nichts.
> Was ich nicht
> verstehe, ist das laut der Musterlösung die Basis A' von
> [mm]R^3[/mm] auch gleichzeitig die Transformationsmatrix A [mm]\gamma[/mm] A'
> sein soll.
Zur Sprechweise: ich weiß sehr gut, was Du meinst - aber eine Basis KANN keine Transformationsmatrix sein. Eine Basis ist eine Basis und eine Matrix ist eine Matrix. Es ist nützlich, sich diesbezüglich von Anfang an Gründlichkeit zuzulegen. Der Stoff ist oftmal verwirrend und schwierig genug - da muß man sich nicht noch selber ein Bein stellen.
Lass' uns nun überlegen, wie wir zur Matrix [mm] T_{A'A} [/mm] kommen.
In die Spalten von [mm] T_{A'A} [/mm] kommen die Basisvektoren von A' in der Darstellung bzgl A.
Nun ist
[mm] \pmat{ 2 \\ 0 \\ 1 }=2*\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 }+0*\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }+1*\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 }=\pmat{ 2 \\ 0 \\ 1 }_A, [/mm] die anderen Basisvektoren entsprechend.
Daß in den Spalten gerade die Koordinaten stehen, hängt damit zusammen, daß A die Standardbasis ist.
Schon, wenn man für A die Basis ([mm]\pmat{ 2 \\ 0 \\ 0 },\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }, \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]) hätte, sähe die Sache etwas anders aus. Von komplizierteren Fällen ganz zu schweigen.
Für die Transformationsmatrix [mm] T_{BB'} [/mm] hast Du zwei Möglichkeiten:
1. Du stellst zuerst die Matrix [mm] T_{B'B} [/mm] auf - was wieder sehr einfach ist - und invertierst sie dann.
2. Du schreibst [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] als
[mm] \vektor{1 \\ 0}=a_1_1\pmat{ 2 \\ 3 } [/mm] + [mm] a_2_1\pmat{3 \\ 2 }=\pmat{a_1_1 \\ a_2_1 }_B' [/mm] und
[mm] \vektor{0 \\ 1}=a_1_2\pmat{ 2 \\ 3 } [/mm] + [mm] a_2_2\pmat{3 \\ 2 }=\pmat{a_1_2 \\ a_2_2 }_B'
[/mm]
un d bekommst hieraus direkt die Transformationsmatrix [mm] T_{BB'}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:09 Di 29.05.2007 | | Autor: | alexmart |
> Lass' uns nun überlegen, wie wir zur Matrix [mm]T_{A'A}[/mm]
> kommen.
>
> In die Spalten von [mm]T_{A'A}[/mm] kommen die Basisvektoren von A'
> in der Darstellung bzgl A.
>
> Nun ist
>
> [mm]\pmat{ 2 \\ 0 \\ 1 }=2*\pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 }+0*\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }+1*\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 }=\pmat{ 2 \\ 0 \\ 1 }_A,[/mm]
> die anderen Basisvektoren entsprechend.
>
> Daß in den Spalten gerade die Koordinaten stehen, hängt
> damit zusammen, daß A die Standardbasis ist.
>
> Schon, wenn man für A die Basis ([mm]\pmat{ 2 \\ 0 \\ 0 },\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 }, \pmat{ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm])
> hätte, sähe die Sache etwas anders aus. Von komplizierteren
> Fällen ganz zu schweigen.
>
> Für die Transformationsmatrix [mm]T_{BB'}[/mm] hast Du zwei
> Möglichkeiten:
>
> 1. Du stellst zuerst die Matrix [mm]T_{B'B}[/mm] auf - was wieder
> sehr einfach ist - und invertierst sie dann.
>
> 2. Du schreibst [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm] als
>
> [mm]\vektor{1 \\ 0}=a_1_1\pmat{ 2 \\ 3 }[/mm] + [mm]a_2_1\pmat{3 \\ 2 }=\pmat{a_1_1 \\ a_2_1 }_B'[/mm]
> und
> [mm]\vektor{0 \\ 1}=a_1_2\pmat{ 2 \\ 3 }[/mm] + [mm]a_2_2\pmat{3 \\ 2 }=\pmat{a_1_2 \\ a_2_2 }_B'[/mm]
>
> un d bekommst hieraus direkt die Transformationsmatrix
> [mm]T_{BB'}.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
Hallo,
wir hatten in der Vorlesung gesagt, dass die Transformationsmatrix [mm] T_{A'A} [/mm] gleich der Abbildung [mm] _{A}(id_{\IR^{3}})_{A'} [/mm] ist.
Deswegen hätte ich spontan gesagt, dass TA' = A sein muss, wobei wir T suchen.
Dann würden wir hier aber doch die Spalten von A so darzustellen:
Beispiel an [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0} [/mm]
1 = 2 * [mm] t_{1} [/mm] + 0 * [mm] t_{2} [/mm] + 1 * [mm] t_{3}
[/mm]
0 = 0 * [mm] t_{1} [/mm] + 2 * [mm] t_{2} [/mm] + 3 * [mm] t_{3}
[/mm]
0 = 1 * [mm] t_{1} [/mm] + 3 * [mm] t_{2} [/mm] + 1 * [mm] t_{3}
[/mm]
So ich weiß dass dein Ansatz auf die Transformationsmatrizen zu kommen korrekt ist udn die richtigen Ergebnisse liefert.
Ich weiß nur net so genau warum, weil mein Ansatz für mich logischer klingt.
Wahrscheinlich stehe ich hier auf dem Schlauch, denn der Rest leuchtet mir ein und ist nachvollziehbar.
Vielleicht kannst du mir das ja auch noch verständlich machen.
Mit freundlichen Grüßen
Alexander Martens
PS: Danke für deine Hilfe allgemein! Find ich echt super!
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> wir hatten in der Vorlesung gesagt, dass die
> Transformationsmatrix [mm]T_{A'A}[/mm] gleich der Abbildung
> [mm]_{A}(id_{\IR^{3}})_{A'}[/mm] ist.
Hallo,
man muß bei diesen Transformationsmatrizen ja ziemlich aufpassen, daß man nicht durch eine babylonische Sprachverwirrung vollends ins Chaos gestürzt wird. Jeder bezeichnet das anders.
ICH meine mit [mm] T_{A'A} [/mm] die Transformationsmatrix, die folgendes tut: hinein stecke ich einen Vektor in Koordinalten bzgl. A', herausbekommen will ich einen Vektor in Koordinaten bzgl. A.
> Deswegen hätte ich spontan gesagt, dass TA' = A sein muss,
> wobei wir T suchen.
(Mit A' und A meinst Du sicher die Matrizen, die als Spalten die Vektoren der entsprechenden Basen enthalten.)
Mein Ziel ist es nicht nicht, =A dastehen zu haben.
Ich möchte als Ergebnis von [mm] T_{A'A}A' [/mm] die Basisvektoren von A' in Koordinaten bzgl. A haben. [mm] T_{A'A} [/mm] ist die identische Abbildung, wie Du richtig schreibst. Der Vektor, den hereinstecke, und der, den ich herausbekomme, ist derselbe.
Weil das so verwirrend ist, helfe ich mir - wenn verschiedene Basen im Spiel sind - selbst gerne, indem ich an den Spaltenvektor als Index die Basis, bzgl derer er ist, anhänge. Ich hatte das in meiner Antwort an einigen Stellen ja auch gemacht.
Steigen wir nochmal weit oben ein, und taufen etwas um:
Sei [mm] A:=(e_1, e_2, e_3) [/mm] die Standardbasis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Natürlich ist [mm] e_1=\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 }_A, e_2=\vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 }_A, e_3=\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 }_A.
[/mm]
[mm] A':=(a_1,a_2,a_3) [/mm] sei eine weitere Basis mit
[mm] a_1:=2*e_1+1*e_3=\vektor{ 2 \\ 0 \\ 1 }_A
[/mm]
[mm] a_2:=2*e_2+3*e_3=\vektor{ 0 \\ 2 \\ 3 }_A
[/mm]
[mm] a_3:=1*e_1+3*e_2+1*e_3=\vektor{ 1 \\ 3 \\ 1 }_A
[/mm]
Natürlich ist [mm] a_1=\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 }_{A'}, a_2=\vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 }_{A'}, a_3=\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 }_{A'}.
[/mm]
Gesucht ist nun die Transformationsmatrix [mm] T_{A'A}, [/mm] welche folgendes tut:
[mm] T_{A'A}a_1=T_{A'A}\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0 }_{A'}=\vektor{ 2 \\ 0 \\ 1 }_A
[/mm]
[mm] T_{A'A}a_2=T_{A'A}\vektor{ 0 \\ 1 \\ 0 }_{A'}=\vektor{ 0 \\ 2 \\ 3 }_A
[/mm]
[mm] T_{A'A}a_3=T_{A'A}\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1 }_{A'}=\vektor{ 1 \\ 3 \\ 1 }_A.
[/mm]
[mm] T_{A'A} [/mm] besteht also genau aus den Spaltenvektoren der [mm] a_i [/mm] bzgl. A.
Ich hoffe, daß Dir jetzt etwas klarer geworden ist, wo Dein Fehler bzw. Nichtverständnis lag.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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