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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Transformationsmatrix Polynome
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Transformationsmatrix Polynome: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 Mo 10.07.2006
Autor: wisi

Aufgabe
Im linearen Raum [mm] \mathcal{P}_{2} [/mm] (Polynome 2-ten Grades) seien die Basen (a) 1, t, [mm] t^{2} [/mm]
(b) 2 + t - [mm] t_{2}, [/mm] 2 - t + [mm] 2t^{2}, [/mm] 3 + [mm] t^{2} [/mm] gegeben. Geben Sie die Transformationsmatrizen (a) [mm] \to [/mm] (b) und (b) [mm] \to [/mm] (a) und die Koordinaten des Polynoms p(t) = 1 + t + [mm] t^{2} [/mm] bzgl. der Basis (b) an.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich kann leider mit den Polynomen an dieser Stelle nichts anfangen, für "normale" Koordinaten im [mm] \IR^{3} [/mm] weiß ich wie ich die Transformationsmatrix berechne, aber bei den Polynomen weiß ich nicht einmal, wie ich anfangen soll.
Kann mir bitte jemand helfen und mir erklären, wie ich diese Transformationsmatrix erstelle?

Danke im vorraus.

        
Bezug
Transformationsmatrix Polynome: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:48 Mo 10.07.2006
Autor: Event_Horizon

Bei Vektoren gehst du doch i.a. so vor, daß du jeden Basisvektor von (a) durch alle Basisvektoren von (b) ausdrückst. Du bekommst daduch eine Reihe von Vorfaktoren, die kommen in die Matrix.

Jetzt ist es genauso: du drückst jedes Basispolynom von (a) durch die von (b) aus:
$1=a(2 + t -  [mm] t_{2})+b( [/mm] 2 - t +  [mm] 2t^{2})+c( [/mm] 3 +  [mm] t^{2}) [/mm] $
$t=d(2 + t -  [mm] t_{2})+e( [/mm] 2 - t +  [mm] 2t^{2})+f( [/mm] 3 +  [mm] t^{2}) [/mm] $
[mm] $t^2=g(2 [/mm] + t -  [mm] t_{2})+h( [/mm] 2 - t +  [mm] 2t^{2})+i( [/mm] 3 +  [mm] t^{2}) [/mm] $

Du mußt die Koeffizienten a...i bestimmen

Und das gegebene Polynom hat dann die Darstellung

$(a+d+g)(2 + t -  [mm] t_{2})+(b+e+h)( [/mm] 2 - t +  [mm] 2t^{2})+(c+f+i)( [/mm] 3 +  [mm] t^{2}) [/mm] $

wobei du nur die Koeffizienten zusammenrechnest, die Polynome solltest du so stehen lassen, weil das ja die Basen sind.



Bezug
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