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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Janali |
| Aufgabe | Gegeben sind zwei Koordinatensysteme E' und E'' mit den Basisvektoren
e1'=(1, -1, [mm] -1)/\wurzel{3}
[/mm]
e2'=(1, 0, [mm] -1)/\wurzel{2}
[/mm]
e3'=(1, -1, [mm] 0)/\wurzel{2}
[/mm]
und
e1''=(0, cos t, -sin t)
e2''=(0, sin t, cos t)
e3''=(1, 0, 0)
Gesucht sind die Tranformationsmatrizen von der kanonischen Basis zu den Systemen E' und E'', sowie die von E' zu E''. |
Meine Frage ist, wie ich diese Transformationsmatrizen finde.
Meine Idee war, die Vektoren e1', e2' und e3' einfach als Spalten hintereinander zu schreiben, aber das scheint nicht richtig zu sein.
Die richtige Lösung ist für die Transformation von kanonischer Basis zum System E':
[mm] \pmat{1/\wurzel{3} & -1/\wurzel{3} & -1/\wurzel{3} \\1/\wurzel{2} & 0 & -1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & -1/\wurzel{2} & 0}
[/mm]
Wie kommt man da drauf, also der allgemeine Weg, was muss ich machen mit den Basisvektoren?
Mein Ansatz für die Matrix von E' nach E'' wäre dann so:
[Matrix von E' nach E''] [Matrix von kanonischer Basis zu E'] = [Matrix von kanonischer Basis zu E'']
Dann die Inverse von [Matrix von kanonischer Basis zu E'] von rechts multiplizieren ergibt:
[Matrix von E' nach E''] = [Matrix von kanon. Basis nach E''] [Matrix von kanon. Basis nach [mm] E']^{-1 (invers)}
[/mm]
Ist das dan richtig?
Ich hoffe endlich zu verstehen, wie ich diese Transformationsmatrizen finde, dann ist der zweite Teil denke ich nicht mehr das Problem.
Danke vielmals für die Hilfe, ich bin wirklich schon am Verzweifeln!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 27.05.2008 | | Autor: | Kyle |
Hallo,
schau mal hier
http://www.mathematik.uni-marburg.de/~helduser/linal1/basiswechsel.pdf
nach, da findest Du ein ausführliches Beispiel mit Lösungen und zwei Möglichkeiten zur Berechnung. Du musst nur aufpassen, da je nach Autor die Begriffe "Basiswechselmatrix" oder "Transformationsmatrix" die Matrizen wie in dem Beispiel oder deren Inverse bezeichnen können.
Viele Grüße,
Kyle
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> Gegeben sind zwei Koordinatensysteme E' und E'' mit den
> Basisvektoren
>
> e1'=(1, -1, [mm]-1)/\wurzel{3}[/mm]
> e2'=(1, 0, [mm]-1)/\wurzel{2}[/mm]
> e3'=(1, -1, [mm]0)/\wurzel{2}[/mm]
>
> und
>
> e1''=(0, cos t, -sin t)
> e2''=(0, sin t, cos t)
> e3''=(1, 0, 0)
>
> Gesucht sind die Tranformationsmatrizen von der kanonischen
> Basis zu den Systemen E' und E'', sowie die von E' zu E''.
> Meine Frage ist, wie ich diese Transformationsmatrizen
> finde.
> Meine Idee war, die Vektoren e1', e2' und e3' einfach als
> Spalten hintereinander zu schreiben, aber das scheint nicht
> richtig zu sein.
>
>
>
> Die richtige Lösung ist für die Transformation von
> kanonischer Basis zum System E':
>
> [mm]\pmat{1/\wurzel{3} & -1/\wurzel{3} & -1/\wurzel{3} \\1/\wurzel{2} & 0 & -1/\wurzel{2} \\ 1/\wurzel{2} & -1/\wurzel{2} & 0}[/mm]
Hallo,
die Dir vorliegende Lösung ist falsch.
Dein Plan allerdings auch:
Wenn Du e1', e2' und e3' als Spalten in eine Matrix steckst, so bekommst Du die Matrix, welche Dir Vektoren, die bzgl der Basis E' gegeben sind, in solche bzgl. der Standardbasis E umwandelt.
Die Matrix, die Dir Vektoren, die bzgl. E gegeben sind in solche bzgl. E' umwandelt, ist die inverse hiervon, und die ist oben verkehrt berechnet worden.
Daß obige Matrix nicht stimmt, siehst Du, wenn Du sie mit [mm] \vektor{1/\wurzel{3} \\ -1/\wurzel{3} \\ -1/\wurzel{3}} [/mm] multiplizierst.
Wäre sie richtig, müßte [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] herauskommen, was nicht der Fall ist.
> Wie kommt man da drauf, also der allgemeine Weg, was muss
> ich machen mit den Basisvektoren?
>
>
>
> Mein Ansatz für die Matrix von E' nach E'' wäre dann so:
>
> [Matrix von E' nach E''] [Matrix von kanonischer Basis zu
> E'] = [Matrix von kanonischer Basis zu E'']
>
> Dann die Inverse von [Matrix von kanonischer Basis zu E']
> von rechts multiplizieren ergibt:
>
> [Matrix von E' nach E''] = [Matrix von kanon. Basis nach
> E''] [Matrix von kanon. Basis nach [mm]E']^{-1 (invers)}[/mm]
>
> Ist das dan richtig?
Im Prinzip ja.
Bloß: die einfachen der Transformationsmatrizen sind die, die von einer "krausen" Basis nach der kanonischen Basis transformiern, denn hier stehen die krausen Vektoren einfach in den Spalten.
(Das scheint Dir im Moment noch nicht klar gewesen zu sein.)
Rechne also so:
[Matrix von E' nach E'']=[Matrix von E'' zu kanonischer Basis [mm] E]^{-1}*[Matrix [/mm] von E' zu kanonischer Basis E]
Gruß v. Angela
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