Transformation zu DGS 1.Ord. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:26 Do 26.02.2015 | | Autor: | natural |
Hallo,
ich habe die Aufgabe zwei Differentialgleichungen 2.Ordnung in ein Differentialgleichungssystem 1.Ordnung zu überführen. Wie DGl-Systeme 1.Ordnung gelöst werden stellt kein Problem dar, allerdings bin ich mir bei der Transformation nicht sicher.
Und zwar geht es um folgende Gleichungen:
(I) 2x''+2x'+x+3y''+y'+y=0
(II) x''+4x'-x'+3y''+2y'-y=0
Zunächst substituiere ich:
[mm] u_{1}=x
[/mm]
[mm] u_{2}=x'
[/mm]
[mm] u_{3}=y
[/mm]
[mm] u_{4}=y' [/mm]
[mm] \Rightarrow u_{1}'=u_{2} [/mm] und [mm] u_{3}'=u_{4}
[/mm]
Daraus folgt für die beiden Gleichungen
(I) [mm] 2u_{2}'+2u_{2}+u_{1}+3u_{4}'+u_{4}+u_{3}=0
[/mm]
(II) [mm] u_{2}'+4u_{2}-u_{1}+3u_{4}'+2u_{4}-u_{3}=0
[/mm]
Um [mm] u_{2}' [/mm] zu erhalten rechne ich (I)-(II) und erhalte
[mm] u_{2}'=-2u_{1}+2u_{2}-2u_{3}+u_{4}
[/mm]
Und anschließend analog um [mm] u_{4}' [/mm] zu erhalten rechne ich (I)-2(II)
[mm] u_{4}'=u_{1}-2u_{2}+u_{3}-u_{4}
[/mm]
Dann stelle ich die Matrix-Form auf
[mm] \vektor{u_{1}' \\ u_{2}' \\ u_{3}' \\ u_{4}'}=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -1 } \vektor{u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \\ u_{4}}
[/mm]
Ist die Herangehensweise bis hierhin korrekt?
Bin für jeden Tipp dankbar,
mfg
natural
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:47 Do 26.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe die Aufgabe zwei Differentialgleichungen 2.Ordnung
> in ein Differentialgleichungssystem 1.Ordnung zu
> überführen. Wie DGl-Systeme 1.Ordnung gelöst werden
> stellt kein Problem dar, allerdings bin ich mir bei der
> Transformation nicht sicher.
>
> Und zwar geht es um folgende Gleichungen:
>
> (I) 2x''+2x'+x+3y''+y'+y=0
> (II) x''+4x'-x'+3y''+2y'-y=0
(II) lautet wohl so:
(II) x''+4x'-x+3y''+2y'-y=0
>
> Zunächst substituiere ich:
>
> [mm]u_{1}=x[/mm]
> [mm]u_{2}=x'[/mm]
>
> [mm]u_{3}=y[/mm]
> [mm]u_{4}=y'[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow u_{1}'=u_{2}[/mm] und [mm]u_{3}'=u_{4}[/mm]
>
> Daraus folgt für die beiden Gleichungen
>
> (I) [mm]2u_{2}'+2u_{2}+u_{1}+3u_{4}'+u_{4}+u_{3}=0[/mm]
> (II) [mm]u_{2}'+4u_{2}-u_{1}+3u_{4}'+2u_{4}-u_{3}=0[/mm]
>
> Um [mm]u_{2}'[/mm] zu erhalten rechne ich (I)-(II) und erhalte
>
> [mm]u_{2}'=-2u_{1}+2u_{2}-2u_{3}+u_{4}[/mm]
>
> Und anschließend analog um [mm]u_{4}'[/mm] zu erhalten rechne ich
> (I)-2(II)
>
> [mm]u_{4}'=u_{1}-2u_{2}+u_{3}-u_{4}[/mm]
>
> Dann stelle ich die Matrix-Form auf
>
> [mm]\vektor{u_{1}' \\ u_{2}' \\ u_{3}' \\ u_{4}'}=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -1 } \vektor{u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \\ u_{4}}[/mm]
>
>
> Ist die Herangehensweise bis hierhin korrekt?
Ja
FRED
>
> Bin für jeden Tipp dankbar,
> mfg
> natural
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:24 Sa 28.02.2015 | | Autor: | natural |
Dankeschön, fred. Das beruhigt mich.
mfG
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