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| Aufgabe | Geben sie eine Transformation y = [mm] \Phi(x) [/mm] an, durch die die Differentialgleichung
[mm] 2\partial_{x_{1}x_{1}}^{2}u [/mm] + [mm] 2\partial_{x_{2}x_{2}}^{2}u [/mm] + [mm] 2\partial_{x_{3}x_{3}}^{2}u [/mm] + [mm] \partial_{x_{1}x_{2}}^{2}u [/mm] + [mm] \partial_{x_{2}x_{1}}^{2}u [/mm] + [mm] \partial_{x_{2}x_{3}}^{2}u [/mm] + [mm] \partial_{x_{3}x_{2}}^{2}u [/mm] + [mm] \partial_{x_{1}x_{3}}^{2}u [/mm] + [mm] \partial_{x_{3}x_{1}}^{2}u [/mm] = 0
in die Normalform
[mm] \Delta [/mm] w = [mm] \partial_{y_{1}y_{1}}^{2}w [/mm] + [mm] \partial_{y_{2}y_{2}}^{2}w [/mm] + [mm] \partial_{y_{3}y_{3}}^{2}w [/mm] = 0
für w(y) = [mm] w(\Phi(x)) [/mm] = u(x) überführt wird. |
Hallo,
ich sehe bei dem Verfahren der Transformation auf die Normalform noch nicht ganz durch, welche Schritte ich durchführen muss.
Zunächst hab ich erstmal der Typ der part. Diffglg. bestimmt.
Aus der Koeffizientenmatrix [mm] \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix} [/mm] ergibt sich das charakteristische Polynom [mm] -\lambda^{3} [/mm] + [mm] 6\lambda^{2} [/mm] - [mm] 9\lambda [/mm] + 4 = 0.
Die Eigenwerte sind also [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1 und [mm] \lambda_{2} [/mm] = 4. Also ist es eine elliptische Diffglg.
Nun versteh ich die nächsten Schritte nicht mehr. Muss ich die Eigenvektoren bestimmen, die Diagonalmatrix ausrechnen?
Wäre nett, wenn mir jemand das Verfahren erklären könnte.
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 20.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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