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Transformation/Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:14 So 19.02.2006
Autor: Maiko

Aufgabe
In welcher Kurve geht das folgende Gebilde bei einer Spiegelung am Einheitskreis über, d.h. beim Übergang von z zu [mm] \frac{1}{\overline{z}}? [/mm]

b) |z - 1/2| = 1/4

Meine Schritte zur Lösung:

1. [mm] \frac{1}{\overline{z}}=\frac{x}{x^2+y^2}+i*\frac{y}{x^2+y^2} [/mm]

2. |z - 1/2| = 1/4
    -> z=1/2 + [mm] 1/4*(cos(\phi)+i*sin(\phi) [/mm] für 0 [mm] \le \phi \le 2\pi [/mm]

3. Aufteilung in Realteil und Imaginärteil:
x=1/2 + [mm] 1/4*cos(\phi) [/mm]
[mm] y=1/4*sin(\phi) [/mm]

4. x und y oben eingesetzt (bei 1.) ergibt

[mm] \frac{1}{\overline{z}}=\frac{4*(cos(\phi)+2)}{4*cos(\phi)+5}+i*\frac{4*sin(\phi)}{4*cos(\phi)+5} [/mm]

5. Jetzt habe ich mir diese Funktion mit dem Taschenrechner zeichnen lassen und habe bemerkt, dass es ein Kreis ist. Da es aber keine "schöne"  Kreisgleichung ist, möchte ich diese umformen

Einsetzen von [mm] \phi=\pi/2 [/mm] in Gleichung
Ergebnis: 8/5 + 4/5*i

Daraus schlussfolgere ich die Kreisgleichung:

|z-8/5| = 4/5

Leider ist dieses Ergebis nicht korrekt. Laut Lösung müsste
|z-8/3| = 4/3
rauskommen.

Kann mir jmd. sagen, wo ich einen Fehler gemacht habe?

        
Bezug
Transformation/Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Mi 22.02.2006
Autor: Leopold_Gast

Für [mm]t \in [0,2\pi][/mm] beschreibt

[mm]t \mapsto u + \operatorname{i}v \ \ \text{mit} \ \ u = \frac{4 \left( 2 + \cos{t} \right)}{5 + 4 \cos{t}} \, , \ \ v = \frac{4 \sin{t}}{5 + 4 \cos{t}}[/mm]

in der Tat einen Kreis vom Radius [mm]\frac{4}{3}[/mm] mit dem Mittelpunkt [mm]\frac{8}{3}[/mm]. Wenn du nämlich [mm]\left( u - \frac{8}{3} \right)^2 + v^2[/mm] berechnest, erhältst du [mm]\frac{16}{9}[/mm]. Um das zu sehen, muß man nur fleißig rechnen und an einer einzigen Stelle den [mm]\sin^2{t}[/mm] durch [mm]1 - \cos^2{t}[/mm] ersetzen. Ich habe das mit einem CAS nachgeprüft. Mit dem Einsetzen von [mm]t = \frac{\pi}{2}[/mm] weist du jedoch nichts anderes nach, als daß der zugehörige Punkt auf dem Kreis liegt - mehr nicht!

Dein Vorgehen ist allerdings recht umständlich. Du bräuchtest doch in der gegebenen Kreisgleichung nur [mm]z[/mm] durch [mm]\frac{1}{\bar{z}}[/mm] substituieren und "nach [mm]z[/mm] auflösen":

[mm]\left| \frac{1}{\bar{z}} - \frac{1}{2} \right| = \frac{1}{4} \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{1}{| \bar{z} |} \cdot \left| 1 - \frac{1}{2} \, \bar{z} \right| = \frac{1}{4} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| 1 - \frac{1}{2} \, \bar{z} \right| = \frac{1}{4} \, | \bar{z} |[/mm]

[mm]\Leftrightarrow \ \ \left| 1 - \frac{1}{2} \, \bar{z} \right|^2 = \frac{1}{16} \, |z|^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( 1 - \frac{1}{2} \, \bar{z} \right) \left( 1 - \frac{1}{2} \, z \right) = \frac{1}{16} \, z \bar{z}[/mm]

[mm]\Leftrightarrow \ \ 1 - \frac{1}{2} \, z - \frac{1}{2} \, \bar{z} + \frac{3}{16} \, z \bar{z} = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{16}{3} - \frac{8}{3} \, z - \frac{8}{3} \, \bar{z} + z \bar{z} = 0[/mm]

[mm]\Leftrightarrow \ \ \left( z - \frac{8}{3} \right) \left( \bar{z} - \frac{8}{3} \right) = \frac{16}{9} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| z - \frac{8}{3} \right|^2 = \frac{16}{9} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| z - \frac{8}{3} \right| = \frac{4}{3}[/mm]

Bezug
                
Bezug
Transformation/Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:13 Fr 24.02.2006
Autor: Maiko

Vielen Dank für deine Hilfe :-)

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