Transform. Fundamentalmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 So 01.10.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo Alle!
Diesmal nur eine kleine Verständnisfrage.
Wir haben folgenden Satz in der Vorlesung aufgeschrieben:
Sei [mm] $\psi:V\times V\to [/mm] K [mm] \in \mathrm{Bil}(V)$.
[/mm]
Sei $b' [mm] =(b_1',...,b_n')$ [/mm] eine weitere Basis von $V$ , und sei $T = [mm] M_{b'}^b$ [/mm] die Transformationmatrix von $b$ und $b'$. Sei [mm] $\psi \in$ [/mm] Bil$(V)$, und seien $B$ und $B'$ die Fundamentalmatrizen von [mm] $\psi$ [/mm] bezüglich $b$ und $b'$. Dann ist $B'=T^TBT $.
Es gibt doch sicher einen guten Grund warum man hier die Transponierte benutzt. (Wäre die Matrix orthogonal, so wär mir das natürlich klar, ist sie aber nicht, oder?). Kann mir jemand den Grund verraten oder erklären?
Grüße
Cruemel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Mo 02.10.2006 | | Autor: | Riley |
hi!
bei bilinearformen verwendet man doch immer bei solchen basiswechsel-geschichten die transponierte matrix, bei endomorphismen die inverse. den genauen grund kann ich dir aber auch nicht sagen...
viele grüße
riley =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Di 03.10.2006 | | Autor: | cruemel |
Hallo Alle!
Vielleicht sollte ich die Frage so stellen:
Weiß jemand, ob die Matrix T in diesem Fall IMMER eine orthogonale Matrix ist?
Grüße
Cruemel
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Hallo cruemel!
Bei einer linearen Abbildung [mm] $f\colon V\to [/mm] V$ muss ja auch das Ergebnis wieder in die andere Basis umgerechnet werden. Bei einer Bilinearform aber liegt das Ergebnis gar nicht in $V$, sondern im Körper $K$.
Das zum Basiswechsel die Transponierte benutzt wird liegt daran, dass du zwei Argument hast - das eine wird von links, das andere von rechts multipliziert. In deinem Beispiel gilt: [mm] $Tb_i=b'_i$ [/mm] für alle [mm] $i=1,\dots, [/mm] n$ und damit
[mm] $\psi(b_i';b_j')=\psi(Tb_i;Tb_j)=(Tb_i)^TB(Tb_j)=b_i^TT^TBTb_j$ [/mm] für alle [mm] $i,j=1,\dots, [/mm] n$.
Deshalb ist die Darstellungsmatrix bezüglich $b'$ gerade $T^TBT$.
Ist dir der Satz jetzt klar?
Gruß, banachella
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