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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 So 09.06.2013 | | Autor: | ralfr |
Hallo,
ich soll dein Trägheitstensor Platte (dicke d) in Form eines Dreiecks berechnen.
Dafür liegt die PLatte zunächst in der x-y Ebene. Ihre Massendichte ist in der Ebene abhängig vom quadratischen Abstand zum Ursprung mit Proportionalitätsfaktor alpha und in z-richtung konstant.
Sie wird durch die x und y achse beschränkt sowie durch die Gerade y=-x+a.
ich soll nun die achsen erst einmal in den Schwerpunkt [mm] $S(\frac{2}{5}a,\frac{2}{5}a,0)$ [/mm] schieben.
Dann soll ich den Trägheitstensor berechnen und eine Hauptachsentransformation machen.
Ich habe soetwas noch nie gemacht, daher bin ich mir ziemlich unsicher.
Berechnet sich dann z.B. [mm] $J_x$ [/mm] so?
[mm] $\integral_{-d/2}^{d/2}{\integral_{-2/5 a}^{3/5 a}{\integral_{-2/5 a}^{-x+ 1/5 a}{\alpha*((x+\frac{2}{5}*a)^2+(y+\frac{2}{5}*a)^2)*(y^2+z^2) dy} dx} dz}
[/mm]
sind die Grenzen und sowas alles richtig gesetzt? :) ich möchte nicht den ganzen trägheitstensor berechnen und dann merken müssen, dass das alles falsch war :P
(Ist es eigentlich auch möglich das ganze einfacher zu gestalten?)
Diese Integrale scheinen mir doch ein wenig kompliziert.
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Hallo!
Ich sehe zwei Fehler:
erstens:
Im Integranden sollte [mm] ...((x\red{-}\frac{2}{5}*a)^2+(y\red{-}\frac{2}{5}*a)^2)...
[/mm]
stehen. Das kannst du einfach einsehen: wenn du für x und y die Koordinaten des Schwerpunktes einsetzt, sollte jeweils 0 raus kommen.
zweitens:
Der Wertebereich für x ist [0;a], demnach [mm] $$\int_0^a\,dx$$
[/mm]
Und y liegt im Bereich [0;-x+a], und daher [mm] $$\int_0^a\,dx\int_0^{-x+a}\,dy$$
[/mm]
(Man kann das auch so schreiben, daß das d... direkt hinter dem Integrationszeichen steht, dann ist klar, zu welcher Variablen welche grenzen gehören.)
Ansonsten ist das eher die Komponente [mm] J_z [/mm] statt [mm] J_x [/mm] , denn es ist die Komponente für die Rotation um eine Achse in z-Richtung, und steht im Tensor rechts unten.
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