Trägheitssatz von Sylvester < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Fr 28.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo!
Es ist bisschen blöd, da ich meine Frage nicht genauer stellen kann.
Also kann mir jemand das folgende Gesetz verständlich machen, ich verstehe es nicht und weiß nicht was ich daraus folgern kann.:
Trägheitssatz von Sylvester:
Gegeben sei ein endlich dimensionaler [mm] \IR [/mm] Vektorraum V mit einer symmetrischen Bilinearform s und einer Zerlegung
V= [mm] V_{+} \oplus V_{-} \oplus V_0 [/mm] ,
wobei [mm] V_0 \subset [/mm] V der Ausartungsraum von s ist, und
s(v,v) > 0 für 0 [mm] \not= [/mm] v [mm] \in V_{+} [/mm] , s(v,v) < 0 für 0 [mm] \not= [/mm] v [mm] \in V_{-} [/mm] .
Dann sind die Zahlen [mm] r_{+} [/mm] (s) := dim [mm] V_{+} [/mm] und [mm] r_{-} [/mm] (s):= dim [mm] V_{-} [/mm] Invarianten von s (d.h. für alle möglichen derartigen Zerlegungen gleich). Insbesondere ist
[mm] r_{+} [/mm] = max{dim W : W [mm] \subset [/mm] V Untervektorraum und s(v,v) > 0 für 0 [mm] \not= [/mm] v [mm] \in [/mm] W }.
[mm] r_{-} [/mm] = max{dim W : W [mm] \subset [/mm] V Untervektorraum und s(v,v) < 0 für 0 [mm] \not= [/mm] v [mm] \in [/mm] W}
Danke, Gruß
Tito
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Grüße!
Das freut mich... keine Aufgabe, die gelöst werden muß sondern eine Verständnisfrage zu einem Satz. 
Also, wir haben das gegeben, was in der Aufgabe steht, eine Bilinearform $s$ über einem endl. dim. Vektorraum $V$ über [mm] $\IR$. [/mm] Jetzt möchte man gerne (wie bei Endomorphismen auch) eine Basis von $V$ finden, so dass die darstellende Matrix von $s$ möglichst "schön" aussieht - Diagonalgestalt wäre toll. Bei Endomorphismen geht das ja im Allg. nicht.
Zu Hilfe eilt uns da das Verfahren von Gram-Schmidt. Man gibt sich eine beliebige (!) Basis vor und kann sich daraus eine Orthogonalbasis basteln. Für die Matrix zu $s$ (Gebildet durch [mm] $b_{ij} [/mm] = [mm] s(v_i,v_j)$, [/mm] wo [mm] $v_1, \ldots, v_n$ [/mm] die Basis ist) heißt das, dass die entsprechende Matrix diagonal ist - klar, denn Orthogonalbasis heißt ja gerade [mm] $s(v_i,v_j) [/mm] = 0$ für $i [mm] \not= [/mm] j$.
Also: Diagonalgestalt kriegen wir hin. Als nächstes schauen wir uns die Werte auf der Diagonalen an - kann man die durch Änderung der Basis vielleicht verbessern?
Eine Idee, die man haben könnte: wenn man einen Basisvektor $v$ nimmt und ein [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] mit [mm] $\lambda \not= [/mm] 0$, dann kann man $v$ in der Basis durch [mm] $\lambda [/mm] v$ ersetzen - man ersetzt einfach einen Vektor durch ein Vielfaches.
Was geschieht dann mit dem entsprechenden Diagonaleintrag? Nachrechnen:
[mm] $d_{neu} [/mm] = s [mm] (\lambda [/mm] v, [mm] \lambda [/mm] v) = [mm] \lambda^2 [/mm] s(v,v) = [mm] \lambda^2 d_{alt}$
[/mm]
Mit [mm] $d_{alt}$ [/mm] bzw. [mm] $d_{neu}$ [/mm] meine ich den alten bzw. neuen Diagonaleintrag bzgl. des Basisvektors $v$.
Ich kann also mit einem beliebigen(!) positiven reellen Wert multiplizieren, da jede positive reelle Zahl das Quadrat einer reellen Zahl ist.
Naja und dann tu ich das! Wenn auf der Diagonalen eine 0 steht, dann laß ich sie dort stehen - wenn die Zahl positiv ist, dann kann ich mit dem Kehrwert multiplizieren und erhalte eine 1. Und für negative Zahlen? Die kann ich nicht auf 1 bringen, weil ich nur positive Zahlen zur Verfügung habe - aber ich kann den Kehrwert des Betrags nehmen und somit eine -1 erzeugen.
Puh, das war viel Arbeit! Aber jetzt haben wir eine schöne Matrix: sie ist diagonal und enthält auf der Diagonale nur die Werte 0, 1 und -1. Und wie kommt jetzt der Satz von Sylvester ins Spiel?
Man kann sich jetzt fragen, was mit der ANZAHL der Werte 0, 1 bzw. -1 ist. Ich meine, die Basis von der wir ausgingen war willkürlich gewählt - theoretisch wäre es möglich, dass jemand anders der von einer anderen Basis ausgeht und das gleiche Verfahren anwendet zwar auch eine Matrix mit Einträgen 0, 1 und -1 erhält, aber in unterschiedlicher Anzahl!
Und Sylvester sagt: das kann nicht sein, die Anzahl dieser Werte (in Deiner Formulierung: $r_+$ die Anzahl der 1en und [mm] $r_{-}$ [/mm] die Anzahl der (-1)en) ist unabhängig von irgendwelchen Basiswahlen, sie liegt der Bilinearform zugrunde. Und damit kommen alle zum gleichen Ergebnis.
Alles klar? Falls nicht, frag nochmal nach.
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Sa 29.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo Lars!
Danke, ist ja eigentlich garnicht so schwer zu verstehen, warum muss man das immer alles so kompliziert notieren.
Deine Erkläung ist super.
Danke, Gruß
Tito
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Hallo!
also erstmal muss ich sagen dass die Erklärungen oben ziemlich gut sind. Aber eine frage bleibt mir: Wenn ich Gram-Schmidt verwende um die Basis zu konstruieren --> dann kann ich doch auch eine OrthoNormalBasis bkonstruieren. Sagt ja gerade der Satz von Gramschmidt.
Dann hab ich aber auf der Diagonalen nur 1en oder nicht? weil ja gerade [mm] [/mm] = 1 bei einer Orthonormalbasis oder?
Also wieso kann ich keine Orthonormalbasis nehmen? bzw. wieso krieg ich nicht nur 1en?
Danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Fr 26.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
Der Begriff der Orthonormalbasis steht im Zusammenhang zu Skalarprodukten.
Dieser Satz hier ist allgemeiner - er sagt etwas über symmetrische Bilinearformen aus. Skalarprodukte sind nur ein Spezialfall davon (nämlich die, wo du nur 1en auf der Diagonale kriegst).
LG, Alex
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achso.. aber ich bilde mir trotzdem eine orthogonale basis? wie geht das denn ohne skalarprodukt dann?
oder ist es einfacher so vorzugehen?
man hat eine normale abbildung weil ja gerade symmetrisch und die lässt sich nach spektralsatz durch eine orthogonale Basis auf diagonalform bringen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Fr 26.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
Du verwechselst hier gerade was. Wir betrachten die Matrix als Bilinearform, du als Lineare Abbildung. LG, Alex
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hm ja okay, da hast du recht...
ich war nur hierdurch etwas irritiert: http://www.mathematik.uni-dortmund.de/~klinker/09SS/Files/Sylvester.pdf
da steht im ersten abschnitt beim beweis: dass A insbesondere Normal ist und eine Orthonormalbasis entsteht und diagonalsierbar ist.
hm also ich find die Beweisidee oben sowieso ein bisschen schöner, nur wie kann ich eine orthogonale Basis konstruieren wenn ich gar kein Skalarprodukt gegeben habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Fr 26.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
Wo steht da was von Orthonormalbasis? Ich sehe nix.
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Orthogonalbasis. Deshalab ist ja gerade [mm] P^t [/mm] = P^-1 weil die matrix orthogonal ist, und ausserdem steht ganz oben in der beweisidee man benutzt gram achmidt um eine orhohonale basis zu konstruieren, aber wie denn ohne skalarprodukt?? Unabhängig ob normal oder nicht brauch iche doch ein skalarprodukt oder nicht???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Sa 27.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
Nochmal: Da steht nirgends was von "Gram-Schmidt".
Das, was dort steht, ist "[mm]\exists P\in O(n)[/mm], so dass ..."
Wahrscheinlich meinst du das?
Da sollte man jetzt dazu sagen, das die Menge O(n) eindeutig definiert ist - und zwar auch ohne ein Skalarprodukt - nämlich als [mm]O(n) = \{A\in Mat(n,\IR):A\cdot A^T = E_n\}[/mm].
Jetzt kann man dies natürlich -interpretieren- als genau die Matrizen, bei denen die Spaltenvektoren eine Orthonormalbasis bzgl. des -Standardskalarproduktes- bilden. Oder man kann diese Interpretation auch sein lassen, wenn man sich mit Skalarprodukten nicht abgeben will.
LG, Alex
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Oben bei gnmotechs beweisidee ist aber die rede von gramschmidt
Deshalb frag ich danach...
Und wieso existiert jetzt diese matrix P?? Liegt das jetzt am spektralsatz oder wieso existiert die?? Bisher wissen wir ja nur normall und reele eigenwerte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Sa 27.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
Was Gnometech geschrieben hat, habe ich mir nicht durchgelesen. Ich dachte du beziehst dich einzig auf das Skript.
Ja, der Spektralsatz garantiert uns die Existenz einer solchen Matrix.
LG, Alex
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