Trägheitsmoment v. Halbkugel < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist eine Halbkugel K mit
[mm]K= \{(x,y,z) \in\IR^3 : x^2+y^2+z^2 = r^2, 0\le r \le R, z\ge 0\}[/mm]
,die mit der konstanten Dichte [mm]p \equiv 1[/mm] belegt ist.
a) Geben Sie die Darstellung von K mit Kugelkoordinaten an.
b) Berechnen Sie das Trägheitsmoment der Halbkugel um die z-Achse mit Hilfe der Formel
[mm]\integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{}_K (x^2+y^2)d(x,y,z)[/mm]
c) Berechnen Sie die Schwerpunktskoordinaten der Halbkugel |
Die Teilaufgabe a) ist klar:
Die Darstellung der Kugel in Kugelkoordinaten lautet:
K: [mm]\vektor{x \\ y\\z} = \vektor{r*cos( \beta)*cos(\varphi)\\r*cos(\beta)*sin(\varphi)\\r*sin(\beta)}[/mm]
Bei der b) hat man ja eine Formel gegeben. In diese setzt man für x und y jeweils die Kugelkoordinaten-Darstellung für x und y ein:
[mm]\integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{}_K (r^2*cos^2( \beta)*cos^2(\varphi)+ r^2*cos^2(\beta)*sin^2(\varphi)) d(x,y,z)[/mm]
Dieser Ausdruck vereinfacht sich zu:
[mm]\integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{}\integral_{}^{}{}_K (r^2*cos^2( \beta)) d(x,y,z)[/mm]
Jetzt hab ich aber [mm]dx dy dz[/mm] als Integrationsvariablen. Mit diesen kann man nun aber nix mehr anfangen, weil man mitlerweile ja ein Integral abhängig von [mm]r[/mm], [mm]\beta[/mm] und [mm]\varphi[/mm] hat.
Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie man von den vorhandenen Integrationsvariablen dx dy dz auf die benötigten [mm] dr d\beta d\varphi[/mm] kommt.
In einer Musterlösung wird hierzu mit der Determinante der Funktionalmatrix und den benötigten Integrationsvariablen multipliziert: [mm]\vmat{\bruch{d(x,y,z)}{d(r,\beta,\varphi)}} * dr d\beta d\varphi[/mm]
Es ergibt sich also folgendes Integral für das Trägheitsmoment:
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{}\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{}\integral_{0}^{R}{ (r^2*cos^2( \beta)) \vmat{\bruch{d(x,y,z)}{d(r,\beta,\varphi)}} * dr d\beta d\varphi}[/mm]
Hinzu kommt, dass die Determinante folgendes Ergebnis hat:
[mm]\vmat{\bruch{d(x,y,z)}{d(r,\beta,\varphi)}} = -r^2*cos(\beta)[/mm]
Damit wird das ganze Integral negativ und man würde also ein negatives Trägheitsmoment errechnen. Kann das Trägheitsmoment überhaupt negativ sein oder sollte man dieses "-" wegdiskutieren?
Mir ist also nicht klar, warum man durch die Determinante der Funktionalmatrix auf die richtigen Integrationsvariablen kommt und ob ein Trägheitsmoment negativ sein kann.
Ich hoffe, ich habe die Problemlage und meinen Wissensstand ausführlich dargestellt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt und danke Euch für Eure Hilfe,
Andy
|
|
| |
|
Hallo
Also um den Übergang der Integrationsvariabeln zu machen musst du folgendes berechnen:
[mm]
g = \wurzel{det((dK)^t*dK)}
[/mm]
D.h die Determinante des Differenzials von K transponiert mal das Differenzial. Rechne das durch und du kriegst:
[mm]
g = r^2\cos \beta \Rightarrow dxdydz = r^2 \cos \beta & dr d \beta d \phi
[/mm]
Allgemein gilt:
Sei wieder K so eine Koordinatenabbildung und g definiert wie oben.
[mm]
f: U \rightarrow \IC \mbox{ }K: \Omega \rightarrow U
[/mm]
[mm]
\integral_{U}^{}{f dS} = \integral_{\Omega}^{}{f(K(u)) * g(u) du}
[/mm]
Gruss
EvenSteven
|
|
|
| |
|
Erstmal ist das so nicht ganz korrekt: Es muß [mm] $r^2sin\beta$ [/mm] heißen, nicht [mm] $r^2cos\beta$.
[/mm]
Deine Transformation von Kugelkoordinaten in karthesische ist korrekt, vermutlich hast du nen Ableitungsfehler gemacht.
Dann mußt du den Betrag der Determinante einsetzen, nicht die Determinante selbst.
Jetzt die Erklärung:
Die Determinante gibt allgemein das Volumen an, das die Spaltenvektoren der Matrix aufspannen. Das ist die anschauliche Bedeutung einer Determinante!
Nun, ein Volumenelement $dxdydz$ ist überall gleich, egal bei welchen Koordinaten. Aber ein Volumenelement [mm] $drd\phi [/mm] d [mm] \theta$ [/mm] ist abhängig von seiner Position unterschiedlich groß. Entfernst du dich z.B. vom Ursprung, bleibt dr z.B. zwar gleich, aber die Fläche , die die Winkel aufspannen, wird ja größer - und zwar quadratisch mit r!
Nun nochmal zur Jacobi-Matrix: Deren Spalten sind kathesische Vektoren, die dir die Kanten des von [mm] $drd\phi [/mm] d [mm] \theta$ [/mm] aufgespannten Volumens beschreiben. Du mußt also die Determinante dieser Matrix berechnen, um das Volumen von [mm] $drd\phi [/mm] d [mm] \theta$ [/mm] zu erhalten!
In Kugelkoordinaten ist das eben der Faktor [mm] $r^2sin\beta$, [/mm] der zusätzlich mit ins Integral kommt! In Zylinder-/Polarkoordinaten wäre es übrigens ein einfaches r.
Nochwas: Das Trägheitsmoment einer homogenen Vollkugel ist [mm] $T=\bruch{5}{2}MR^2=\bruch{10}{3}\rho \pi R^5$. [/mm] Bei dir sollte die Hälfte davon rauskommen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Do 17.08.2006 | | Autor: | EvenSteven |
> Erstmal ist das so nicht ganz korrekt: Es muß [mm]r^2sin\beta[/mm]
> heißen, nicht [mm]r^2cos\beta[/mm].
>
Meinst du die Gramsche Determinante? Die stimmt ziemlich sicher (TR und Analysis-Buch).
Tschüss
EvenSteven
|
|
|
| |
|
Hmh ja, das ist etwas kniffelig, ich sehe es grade
Es gibt unterschiedliche parametrisierungen der Kugelkoordinaten, jenachdem, wie man den zweiten Winkel wählt.
Der erste Winkel verläuft immer $0 [mm] \le \varphi \le 2\pi$
[/mm]
Und der zweite? Ich kenne die Parametrisierung so, daß [mm] \theta [/mm] den Winkel zwischen Vektor und z-Achse beschreibt, also $0 [mm] \le \theta \le \pi$. [/mm] Das ist die Standardkonvention schlechthin in der Physik, was anderes gibts da nicht.
In dem Fall steht auch in der Transformationsmatrix in der letzten Komponente der cos, während bei den anderen beiden der sin steht.
Jetzt sehe ich grade, daß hier eine andere Konvention gilt. sin und cos sind vertauscht im zweiten Winkel, demnach ist [mm] $-\bruch{\pi}{2} \le \theta \le +\bruch{\pi}{2}$ [/mm] . Dann steht auch in der Determinante ein Cos.
Den Punkt habe ich glatt übersehen. Ist diese Parametrisierung in der Mathematik standard? Die andere bin ich so gewohnt, daß ich das hier glatt übersehen habe, sorry
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Do 17.08.2006 | | Autor: | EvenSteven |
Also bei der angegebene Paramterisierung K beschreibt [mm] \beta [/mm] den Winkel der x-Achse zu der Projektion auf die x-y-Ebene. [mm] \phi [/mm] ist der Winkel, der z-Achse zu der Projektion y-z-Ebene (oder x-z). Ob diese Standard ist, weiss ich nicht. Ich glaube nicht, dass es da so eine Art ISO-Norm gibt :) Ich denke eher so nach dem Prinzip: Jeder nach seinen Bedürfnissen :)
Bye
EvenSteven
|
|
|
|
