Trägheitsmoment einer Scheibe < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimme die Trägheitsmomente einer flachen(keine Dicke !) Scheibe mit dem Radius R. Sei das Koordinatensystem im Schwerpunkt S und seine Achsen so gewählt, dass die Scheibe in der x - y - Achse liege
(1) bezüglich der z-Achse, d.h. Iz
(2)bezüglich der x und y Achsen, d.h. Ix und Iy
(3)Bezüglich einer Achse B die tangential an den runden rand der Scheibe liegt ?
Hinweis: zu (2) Drücke Iz als Summe von Ix und Iy aus und benutze ein Symmetrieargument. |
Ich habe (1) gelöst; meine Frage ist nun, welches Symmetrieargument ich verwenden kann ?
Lösung von (1):
Trägheitsmoment I =
I [mm] =\integral_{}^{} [/mm] r²*dm
Das Trägheitsmoment ist also die Summe aller Massenelemente dm, die jeweils mit dem Quadrat ihres zugehörigen Abstandes multipliziert wurden.
Lösungsansatz: unterteile die runde Scheibe in Ringe mit der Breite dr ( dr ist ein infenitesimal kleiner Bestandteil des Gesamtradius R, r ist der Abstand vom Schwerpunkt zum jeweiligen Ring) - dann ist
dm = dr * 2* [mm] \pi [/mm] * r
nun lässt sich das obige Integral umformen zu
I = [mm] \integral_{0}^{R} [/mm] r² * 2* [mm] \pi [/mm] * r * dr
= 1/4 * 2 * [mm] \pi [/mm] * [mm] r^4 |^{R}_{0}
[/mm]
=1/2 * [mm] \pi [/mm] * [mm] R^4
[/mm]
=1/2 * M * R² ( da die Gesamtmasse M = [mm] \pi [/mm] * R² )
zu (2):
Die Abstände bezüglich der x und der y Achse sind gleich gross, daher ist Ix = Iy
Mit dem Schwerpunkt S als Mittelpunkt des Koordinatensystems sind nun die Einzelmassen dm aller Punkte des in der x-y-Ebene liegenden Kreises mit ihren Abständen von der y-Koordinatenachse zu gewichten, wenn man Iy ermitteln will.
Hierzu habe ich folgenden Ansatz gemacht: ich nehme ein Viertel des Kreises und Zeichne in einem beliebigen Winkel den Radius ein. In diesem Viertelkreis sind jeweils alle untereinander liegenden Punkte gleich weit von der y-Achse entfernt, sodass ich sagen kann:
I = [mm] \integral_{}^{} [/mm] r² * dm
Mit h als Höhe.
es gilt: cos [mm] \alpha [/mm] = r/R
und es gilt sin [mm] \alpha [/mm] = h/R
damit lässt sich h darstellen als:
h = R * sin ( arccos ( r/R ) )
ausserdem lasst sich der "Massestreifen" dm darstellen als
dm = 4 * h * dr
so das sich das Integral nun darstellen lässt als:
I = [mm] \integral_{0}^{R} [/mm] r² * 4 * h * dr
= [mm] \integral_{0}^{R} [/mm] r² * 4 * R * sin ( arccos ( r/R ) ) dr
= [mm] \integral_{0}^{R} [/mm] r² * 4 * R * [mm] \wurzel{ 1-(r²/R²) } [/mm] dr
= [mm] \integral_{0}^{R} [/mm] r² * 4 * R * [mm] \wurzel{ (R²-r²)/R² } [/mm] dr
= [mm] \integral_{0}^{R} [/mm] r² * 4 * R² * [mm] \wurzel{ R²-r² }
[/mm]
Weiter weiss ich nicht ... habe bereits vergeblich versucht, R² - r² zu substituieren; partiell mit r² als u(r) und [mm] \wurzel{ R²-r² } [/mm] zu integrieren ...
meine "nächste Lösung" wardurch herumprobieren -(R² - [mm] r²)^1,5 [/mm] allerdings war die Ableitung hiervon (4r² - R²) * [mm] \wurzel{R²-r²}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Di 05.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo leon
fuer das Traegheitsmoment bezuegl. y-Achse [mm] gilt:\integral_{-R}^{R}{x^2 dm} [/mm]
bezgl. x-Achse [mm] \integral_{-R}^{R}{y^2 dm} [/mm]
bzgl z-Achse [mm] \integral_{-R}^{R}{r^2 dm} [/mm]
aber [mm] r^2=x^2+y^2 [/mm] also die 2 Traegheitsmomente um x und y Achse addiert ergeben das um die z-Achse.
Dein Weg geht auch, aber du musst [mm] r=R*cos\alpha, h=R*sin\alpha, [/mm] und dann das Integral ueber [mm] dr=r*d\alpha.
[/mm]
Aber der Weg oben ist viel schneller.
Teil 3 ueber Steinerschen Satz.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo, Leduart!
Vielen Dank für deine Antwort, ich werde mich jetz mal an die Arbeit machen. Allerdings hab ich eine Frage - hast du bei der Angabe der z-Achse einen Fehler gemacht? Ich habe nämlich das Integral von 0 bis R laufen lassen und nicht von -R bis R und bin dennoch auf das richtige Ergebnis gekommen ... Oder brauche ich bei allen drei Integralen (x,y, und z-Achse) denselben Integrationsbereich, um das Symmetrieargument benutzen zu können?
Nochmals Danke, mfg Leon ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Di 05.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da du ja in Kreisen um r=0 integriert hast, ist das mit der z-Achse richtig, wenn du diese Sym nicht benutzt haettest, dann muesstest du in x und y richtung ueber r^2dm integrieren, und dann natuerlich mit den Grenzen wie angegeben.
Das Argument gilt auf jeden Fall, egal wie du das Traegheitsmoment um z-Achse wirklich berechnet hast.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Alles klar, ich habe mir nun klar gemacht wie ich die Integrationsgrenzen bei der z-Achse nach
-R bis R ändern kann - nämlich indem ich dm nicht mehr durch 2 * [mm] \pi [/mm] *r * dr sondern nurnoch durch [mm] \pi [/mm] * r * dr substituiere (ich berechne also zuerst nur einen Halbkreis, dann den anderen). Das Ergebnis ist in der Tat das selbe.
Als Symmetrieargument verwende ich den Pytagoras mit
r² = x² + y²
Iz = Ix + Iy = [mm] \integral_{-R}^{R} [/mm] r² dm = [mm] \integral_{-R}^{R} [/mm] x² dm + [mm] \integral_{-R}^{R} [/mm] y² dm
<=> 1/2 M * R² = [mm] \integral_{-R}^{R} [/mm] x² dm + [mm] \integral_{-R}^{R} [/mm] y² dm
da ich bereits zu Anfang festgestellt habe, dass Ix und Iy gleich gross sein muessen,muss
Ix = Iy = 1/4 * M * R² sein, damit beide zusammen Iz = 1/2 * M * R² sind
richtig ? :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:46 Di 05.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alles richtig!
Gruss leduart
|
|
|
|
