Totales Differenzial, Fehler < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:32 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Dipl.Ing. |
| Aufgabe | Eine Größe W hängt von 3 Messgrößen ab: x, y, z.
Die dazugehörige Formel lautet [mm] W=x*sin(y/(1+z^2)). [/mm]
Die Variablen haben die Werte x=2+/-0,1; y=3+/-0,2 und z=1+/-0,1.
Berrechnen Sie den absoluten Messfehler von W. |
Ich habe angefangen, dass totale Differenzial zu bilden. Bin mir aber nicht sicher ob ich das richtig aufgestellt habe.
[mm] |(\Delta)W|=|((\delta)f/(\delta)x)*(\Delta)x|+|(\delta)f/(\delta)y)*(\Delta)y|+|(\delta)f/(\delta)z)*(\Delta)z|
[/mm]
Dann habe ich für f die Funtion eingesetzt. Also quasi jedes f mit [mm] x*sin(y/(1+z^2)) [/mm] ersetzt. Danach weiß ich allerdings nicht weiter.
Bitte um einen Tipp. Vielen Dank.
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Hallo Dipl.Ing.,
> Eine Größe W hängt von 3 Messgrößen ab: x, y, z.
> Die dazugehörige Formel lautet [mm]W=x*sin(y/(1+z^2)).[/mm]
> Die Variablen haben die Werte x=2+/-0,1; y=3+/-0,2 und
> z=1+/-0,1.
> Berrechnen Sie den absoluten Messfehler von W.
> Ich habe angefangen, dass totale Differenzial zu bilden.
> Bin mir aber nicht sicher ob ich das richtig aufgestellt
> habe.
>
> [mm]|(\Delta)W|=|((\delta)f/(\delta)x)*(\Delta)x|+|(\delta)f/(\delta)y)*(\Delta)y|+|(\delta)f/(\delta)z)*(\Delta)z|[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann habe ich für f die Funtion eingesetzt. Also quasi
> jedes f mit [mm]x*sin(y/(1+z^2))[/mm] ersetzt. Danach weiß ich
> allerdings nicht weiter.
Jetzt mußt Du die partiellen Ableitung von f nach x,y,z bilden,
und dann für (x,y,z) (2,3,1) einsetzen.
>
> Bitte um einen Tipp. Vielen Dank.
Gruß
MathePower
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Zunächst vielen Dank!
Habe die partiellen Ableitungen gebildert, bin mir aber dank sinus und der Klammer nicht ganz sicher. Schaun Sie doch bitte nochmal drüber.
[mm] \bruch{(\delta)f}{(\delta)x}=cos(\bruch{y}{1+z^2})
[/mm]
[mm] \bruch{(\delta)f}{(\delta)y}=\bruch{1}{1+z^2}*x*cos(\bruch{y}{1+z^2})
[/mm]
[mm] \bruch{(\delta)f}{(\delta)z}=x*cos(\bruch{-2y}{z^3})
[/mm]
Der nächste Schritt, falls ich oben richtig gerechnet habe müsste doch nur noch das einsetzten der variablen sein und die kompletten ableitungen jeweils mit dem delta der dazugehörigen variablen zu multiplizieren?
danke
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Hallo,
> Zunächst vielen Dank!
>
> Habe die partiellen Ableitungen gebildert, bin mir aber
> dank sinus und der Klammer nicht ganz sicher. Schaun Sie
> doch bitte nochmal drüber.
>
> [mm]\bruch{(\delta)f}{(\delta)x}=cos(\bruch{y}{1+z^2})[/mm]
Warum ein Kosinus?
> [mm]\bruch{(\delta)f}{(\delta)y}=\bruch{1}{1+z^2}*x*cos(\bruch{y}{1+z^2})[/mm]
Das müsste richtig sein.
> [mm]\bruch{(\delta)f}{(\delta)z}=x*cos(\bruch{-2y}{z^3})[/mm]
Hier müsste man die Kettenregel mehrmals anwenden.
> Der nächste Schritt, falls ich oben richtig gerechnet habe
> müsste doch nur noch das einsetzten der variablen sein und
> die kompletten ableitungen jeweils mit dem delta der
> dazugehörigen variablen zu multiplizieren?
Ja. Beträge nicht vergessen.
> danke
[mm] $W=x*sin\left(\bruch{y}{1+z^2} \right)$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial W}{\partial x}=sin\left(\bruch{y}{1+z^2} \right)$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial W}{\partial z}=x*cos\left(\bruch{y}{1+z^2} \right)*y*\bruch{-2z}{(1+z^2)^2}$
[/mm]
LG, Martinius
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Hallo, danke für die schnelle Antwort!
Die einzelnen Ergebnis der partiellen Ableitungen werden nun jeweils mit dem entsprechenden Delta der Variable multipliziert und dann addiert? Das Ergebnis beschreibt dann die Abweichung von der Ausgangsgleichung
$ [mm] W=x\cdot{}sin\left(\bruch{y}{1+z^2} \right) [/mm] $ ?
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Hallo Dipl.Ing.
> Hallo, danke für die schnelle Antwort!
>
> Die einzelnen Ergebnis der partiellen Ableitungen werden
> nun jeweils mit dem entsprechenden Delta der Variable
> multipliziert und dann addiert? Das Ergebnis beschreibt
Die jeweiligen Beträge werden addiert.
> dann die Abweichung von der Ausgangsgleichung
> [mm]W=x\cdot{}sin\left(\bruch{y}{1+z^2} \right)[/mm] ?
>
>
Ja, das Ergebnis beschreibt dann die größtmögliche Abweichung von W.
Gruß
MathePower
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Danke! Kann es denn sein, dass das Ergebnis von W kleiner ist wie das Delta von W?
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Hallo Dipl.Ing.,
> Danke! Kann es denn sein, dass das Ergebnis von W kleiner
> ist wie das Delta von W?
Das ist durchaus möglich.
Gruß
MathePower
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